Question

如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4．E、F分別是棱CC₁、AB中點．
（Ⅰ）求證：CF⊥BB₁；
（Ⅱ）求四棱錐A-ECBB₁的體積；
（Ⅲ）判斷直線CF和平面AEB₁的位置關系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）要證CF⊥BB₁，只需證明BB₁⊥平面ABC；由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱可以得出；
（2）要求四棱錐A-ECBB₁的體積，需先求底面ECBB₁（直角梯形）的面積；四棱錐的高是AC（需證明），再由體積公式可得；
（3）判斷直線CF和平面AEB₁的位置關系，由CF?平面AEB₁，可猜想CF∥平面AEB₁；要證明線面平行，需證線線平行即可．

解答：解：如圖，
（Ⅰ）證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，∴BB₁⊥平面ABC；
又∵CF?平面ABC，∴CF⊥BB₁．

（Ⅱ）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，∴BB₁⊥平面ABC．
又∵AC?平面ABC，∴AC⊥BB₁．
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC．
且BB₁∩BC=B，∴AC⊥平面ECBB₁．
∴四棱錐VA-ECBB1的體積為
VA-ECBB1=

1

3

SECBB1•AC．
由E是棱CC₁的中點，∴EC=

1

2

AA1=2．
∴SECBB1=

1

2

(EC+BB1)•BC=

1

2

×(2+4)×2=6．
∴VA-ECBB1=

1

3

SECBB1•AC=

1

3

×6×2=4．

（Ⅲ）解：CF∥平面AEB₁．現證明如下：
取AB₁的中點G，連接EG，FG．∵F、G分別是棱AB、AB₁中點，
∴FG∥BB₁，且FG=

1

2

BB₁．
又∵EC∥BB₁，且EC=

1

2

BB1，∴FG∥EC，且FG=EC．
∴四邊形FGEC是平行四邊形．∴CF∥EG．
又∵CF?平面AEB₁，EG?平面AEB₁，
∴CF∥平面AEB₁．

點評：本題綜合考查了空間中的垂直與平行關系，如（1）由線面垂直，得線線垂直；（2）說明AC是高時，證線面垂直，要先證線線垂直；（3）中證明線面平行時，需先證線線平行．所以理清空間中的垂直與平行關系，是解答本題的關鍵．