Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為且數(shù)列滿足且對(duì)任意正整數(shù)都有成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）證明數(shù)列為等差數(shù)列.

（3）令問(wèn)是否存在正整數(shù)使得成等比數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)證明；（3）見(jiàn)證明

【解析】

（1）利用項(xiàng)和公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)由題得，，即，再求出，再利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列為等差數(shù)列.(3) 先求出，所以，根據(jù)成等比數(shù)列得，即，再求出m，k的值.

（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)的和，

所以當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)且時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，上式也成立，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

（2）證明：因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)都有成等比數(shù)列，

所以，即，

所以，

兩式相除得，對(duì)任意正整數(shù)都有，

即，

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，而，所以，

所以.

所以，

所以數(shù)列為等差數(shù)列.

(3)因?yàn)?/span>，

所以，

因此存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列

，

因?yàn)?/span>都是正整數(shù)，則，

即時(shí)，對(duì)應(yīng)的.

所以存在或或使得成等比數(shù)列.