已知直線l過點(1,
178
)且它的一個方向向量為(4,-7),又圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4與圓C2關于直線l對稱.
(Ⅰ)求直線l和圓C2的方程;
(Ⅱ)設P為平面上的點,滿足:存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2,它們分別與圓C1和圓C2相交,且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等,試示所有滿足條件的點P的坐標.
分析:(Ⅰ)根據(jù)直線的方向向量求出直線的斜率,然后求出直線l的方程,根據(jù)兩個圓的圖象關于直線對稱,求出對稱圓的圓心坐標,寫出半徑然后求出圓C2的方程;
(Ⅱ)設P的坐標(m,n),直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等,就是圓C1到直線l1的距離等于圓C2到直線l2的距離.推出(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5,關于k的方程有無窮多解,推出
2-m-n=0
m-n-3=0
m-n+8=0
m+n-5=0

求出P的坐標即可.
解答:解:(Ⅰ)∵直線l的一個方向向量為(4,-7),∴k1=-
7
4

由y-
17
8
=-
7
4
(x-1)
,
所以,直線l是方程為:14x+8y-31=0
∵圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4與圓C2關于直線l對稱,設
圓C2的圓心為(a,b),
b-1
a+3
=
4
7

14×
a-3
2
+8×
b+1
2
-31=0
解得a=4,b=5
所以圓C2的方程:(x-4)2+(y-5)2=4
(Ⅱ)設點P(m,n)則直線l1和l2,的方程分別為:y-n=k(x-m),y-n=-
1
k
(x-m)
因為直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等,
所以圓C1到直線l1的距離等于圓C2到直線l2的距離.
所以
|-3k-1+n-km|
1+k2
=
|-
4
k
-5+n+
m
k
|
1+(
1
k
)
2

∴(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5
∵關于k的方程有無窮多解,∴
2-m-n=0
m-n-3=0
m-n+8=0
m+n-5=0

解得點P的坐標(-
3
2
13
2
)或(
5
2
, -
1
2
點評:本題是中檔題,考查直線的方向向量求直線方程,直線與圓的位置關系,對稱的知識,注意方程無數(shù)解的條件,考查轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)與方程的思想,?碱}型.
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2
3
x
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