【題目】已知橢圓E:的一個焦點為,長軸與短軸的比為2:1.直線與橢圓E交于PQ兩點,其中為直線的斜率.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若以線段PQ為直徑的圓過坐標(biāo)原點O,問:是否存在一個以坐標(biāo)原點O為圓心的定圓O,不論直線的斜率取何值,定圓O恒與直線相切?如果存在,求出圓O的方程及實數(shù)m的取值范圍;如果不存在,請說明理由.

【答案】(1) (2)存在,.的取值范圍是

【解析】

（1）根據(jù)題意直接計算出得到答案.

（2）設(shè)直線OP的方程為:點的坐標(biāo)為,則,聯(lián)立方程組，設(shè)坐標(biāo)原點O到直線的距離為d,則有，得到，計算得到答案.

(1)由已知得:解得:橢圓E的方程為

(2)假設(shè)存在定圓O,不論直線的斜率k取何值時,定圓O恒與直線相切.

這時只需證明坐標(biāo)原點O到直線的距離為定值即可.

設(shè)直線OP的方程為:點的坐標(biāo)為,則,

聯(lián)立方程組

①

以線段PQ為直徑的圓過坐標(biāo)原點O,

,直線OQ的方程為:

在①式中以換t,得②

又由知:

設(shè)坐標(biāo)原點O到直線的距離為d,則有

又當(dāng)直線OP與軸重合時,此時

由坐標(biāo)原點O到直線的距離為定值知,所以存在定圓O,不論直線的斜率k取何值時,定圓O恒與直線相切,定圓O的方程為:.

直線與軸交點為,且點不可能在圓O內(nèi),又當(dāng)k=0時,直線與定圓O切于點,所以的取值范圍是

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)， .

（1）當(dāng)時， 在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時，若函數(shù)在上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C:l(a>b>0)經(jīng)過點(,1),且離心率e.

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線l與橢圓C相交于AB兩點,且滿足∠AOB=90°(O為坐標(biāo)原點),求|AB|的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項和為，滿足，且．正項數(shù)列滿足，其前7項和為42．

（1）求數(shù)列和的通項公式；

（2）令，數(shù)列的前項和為，若對任意正整數(shù)，都有，求實數(shù)的取值范圍；

（3）將數(shù)列，的項按照“當(dāng)為奇數(shù)時，放在前面；當(dāng)為偶數(shù)時，放在前面”的要求進行排列，得到一個新的數(shù)列：，，，，，，，，，，，…，求這個新數(shù)列的前項和．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若存在兩個極值點，證明：．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知為等邊三角形，為等腰直角三角形，.平面平面ABD，點E與點D在平面ABC的同側(cè)，且，.點F為AD中點，連接EF.

（1）求證：平面ABC；

（2）求證：平面平面ABD.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，在等腰中，，，分別為，的中點，為的中點，在線段上，且。將沿折起，使點到的位置（如圖2所示），且。

（1）證明：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)定義在上的函數(shù)滿足：對任意的，當(dāng)時，都有.

（1）若，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若為周期函數(shù)，證明：是常值函數(shù)；

（3）若

①記，求數(shù)列的通項公式；

②求的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓C：過點M（2，0），且右焦點為F（1，0），過F的直線l與橢圓C相交于A、B兩點．設(shè)點P（4，3），記PA、PB的斜率分別為k1和k2．

（1）求橢圓C的方程；

（2）如果直線l的斜率等于-1，求出k1k2的值；

（3）探討k1+k2是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，求出k1+k2的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案