Question

已知圓M的方程為（x-2）²+y²=1，直線l的方程為y=2x，點(diǎn)P在直線l上，過P點(diǎn)作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B．
（1）若∠APB=60°，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求的最小值；
（3）求證：經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題可知MP=2，M（2，0），由此可求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）利用向量的數(shù)量積公式，計(jì)算，結(jié)合切線長公式，利用配方法，即可求得最小值；
（3）求得經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓的方程，利用圓系方程，即可得到必過定點(diǎn)．
解答：（1）解：設(shè)P（m，2m），由題可知MP=2，M（2，0），所以（2m）²+（m-2）²=4，解之得．
故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（0，0）或（，）．  …（4分）
（2）解：設(shè)P（m，2m），則．
又，，
∴．…（7分）
又，
∴，
故的最小值．                                  …（10分）
（3）證明：設(shè)P（m，2m），MP的中點(diǎn)，
因?yàn)镻A是圓M的切線，所以經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，
故其方程為，
化簡得x²+y²-2x+m（-x-2y+2）=0，…（13分）
故解得或
所以經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)（2，0）和．         …（16分）
點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．