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已知常數a≠0,數列{an}的前n項和為Sn,a1=1,且數學公式
(1)求證:數列{an}為等差數列;
(2)若數學公式,且數列{bn}是單調遞增數列,求實數a的取值范圍;
(3)若數學公式,數列{cn}滿足:數學公式,對于任意給定的正整數k,是否存在p,q∈N*,使ck=cp•cq?若存在,求p,q的值(只要寫出一組即可);若不存在,說明理由.

解:(Ⅰ)∵
∴Sn=nan-an(n-1),an+1=Sn+1-Sn,…(2分)
∴an+1=[(n+1)an+1-a(n+1)n]-[nan-an(n-1)]
化簡得:an+1-an=2a(常數),
∴數列{an}是以1為首項,公差為2a的等差數列;…(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知an=1+2a(n-1),
又∵,bn<bn+1,

∴(-1)n[1+(2n-1)a]<3n
①當n是奇數時,∵-[1+(2n-1)a]<3n,
,n=1,3,5,7,…
,
∴a>f(n)max

∴f(1)>f(3)>f(5)>…>f(n)>…,且f(1)=-4,
∴a>-4;…(7分)
②當n是偶數時,
∵1+(2n-1)a<3n,
,n=2,4,6,8,…
,
∴a<g(n)min

∴g(2)<g(4)<g(6)<…<g(n)<…,且,
;
綜上可得:實數a的取值范圍是.…(10分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,an=n,又∵
設對任意正整數k,都存在正整數p,q,使ck=cpcq,

…(12分)
令q=k+1,則p=k(k+2012)(或q=2k,p=2k+2011)
∴ck=ck(k+2012)•ck+1(或ck=c2k+2011•c2k)…(16分)
分析:(Ⅰ)由已知利用an+1=Sn+1-Sn,代入整理化簡得:an+1-an=2a(常數),可證
(Ⅱ)由(Ⅰ)知an=1+2a(n-1),,結合bn<bn+1,可得(-1)n[1+(2n-1)a]<3n①當n是奇數②當n是偶數,結合數列的單調性及恒成立與最值的相互轉換可求a的范圍
(Ⅲ)由(Ⅰ)可得,假設 滿足ck=cpcq,代入整理可得可求
點評:本題綜合考查了由數列的和與項的遞推公式證明等差數列,及利用數列的單調性求解數列的最大(最。╉椀膯栴}及恒成立與最值求解的相互轉化.
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(Ⅱ)若an≤2n3-13n2+11n+1對任意的正整數n恒成立,求實數a的取值范圍;
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1
2
,數列{cn}滿足:cn=
an
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,對于任意給定的正整數k,是否存在p,q∈N*,使得ck=cp•cq?若存在,求出p,q的值(只要寫出一組即可);若不存在說明理由.

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Sn
n
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1
2
,數列{cn}滿足:cn=
an
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(Ⅲ)若,數列{cn}滿足:,對于任意給定的正整數k,是否存在p,q∈N*,使得ck=cp•cq?若存在,求出p,q的值(只要寫出一組即可);若不存在說明理由.

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