已知常數(shù)a≠0,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,且an=
Sn
n
+a(n-1)

(1)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
(2)若bn=3n+(-1)nan,且數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若a=
1
2
,數(shù)列{cn}滿(mǎn)足:cn=
an
an+2011
,對(duì)于任意給定的正整數(shù)k,是否存在p,q∈N*,使ck=cp•cq?若存在,求p,q的值(只要寫(xiě)出一組即可);若不存在,說(shuō)明理由.
分析:(Ⅰ)由已知利用an+1=Sn+1-Sn,代入整理化簡(jiǎn)得:an+1-an=2a(常數(shù)),可證
(Ⅱ)由(Ⅰ)知an=1+2a(n-1),bn=3n+(-1)nan,結(jié)合bn<bn+1,可得(-1)n[1+(2n-1)a]<3n①當(dāng)n是奇數(shù)②當(dāng)n是偶數(shù),結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性及恒成立與最值的相互轉(zhuǎn)換可求a的范圍
(Ⅲ)由(Ⅰ)可得cn=
n
n+2011
,假設(shè) 滿(mǎn)足ck=cpcq,代入整理可得p=
k(q+2011)
q-k
可求
解答:解:(Ⅰ)∵an=
Sn
n
+a(n-1)

∴Sn=nan-an(n-1),an+1=Sn+1-Sn,…(2分)
∴an+1=[(n+1)an+1-a(n+1)n]-[nan-an(n-1)]
化簡(jiǎn)得:an+1-an=2a(常數(shù)),
∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),公差為2a的等差數(shù)列;…(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知an=1+2a(n-1),
又∵bn=3n+(-1)nan,bn<bn+1,
3n+(-1)nan3n+1+(-1)n+1an+1,
∴(-1)n[1+(2n-1)a]<3n
①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),∵-[1+(2n-1)a]<3n,
a>-
3n+1
2n-1
,n=1,3,5,7,…
f(n)=-
3n+1
2n-1
,
∴a>f(n)max
f(n+2)-f(n)=-
3n+2+1
2n+3
+
3n+1
2n-1
=
-4(4n-3)3n+4
(2n-1)(2n+3)
<0

∴f(1)>f(3)>f(5)>…>f(n)>…,且f(1)=-4,
∴a>-4;…(7分)
②當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),
∵1+(2n-1)a<3n,
a<
3n-1
2n-1
,n=2,4,6,8,…
g(n)=
3n-1
2n-1
,
∴a<g(n)min
g(n+2)-g(n)=
3n+2-1
2n+3
-
3n-1
2n-1
=
4(4n-3)3n+4
(2n-1)(2n+3)
>0

∴g(2)<g(4)<g(6)<…<g(n)<…,且g(2)=
8
3
,
a<g(2)=
8
3

綜上可得:實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-4,
8
3
)
.…(10分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,an=n,又∵cn=
n
n+2011
,
設(shè)對(duì)任意正整數(shù)k,都存在正整數(shù)p,q,使ck=cpcq,
k
k+2011
=
p
p+2011
q
q+2011
,
p=
k(q+2011)
q-k
…(12分)
令q=k+1,則p=k(k+2012)(或q=2k,p=2k+2011)
∴ck=ck(k+2012)•ck+1(或ck=c2k+2011•c2k)…(16分)
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了由數(shù)列的和與項(xiàng)的遞推公式證明等差數(shù)列,及利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的最大(最。╉(xiàng)的問(wèn)題及恒成立與最值求解的相互轉(zhuǎn)化.
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已知常數(shù)a≠0,數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=an2-(a-1)n
(Ⅰ)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
(Ⅱ)若an≤2n3-13n2+11n+1對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)若a=
1
2
,數(shù)列{cn}滿(mǎn)足:cn=
an
an+2012
,對(duì)于任意給定的正整數(shù)k,是否存在p,q∈N*,使得ck=cp•cq?若存在,求出p,q的值(只要寫(xiě)出一組即可);若不存在說(shuō)明理由.

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(1)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
(2)若數(shù)學(xué)公式,且數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若數(shù)學(xué)公式,數(shù)列{cn}滿(mǎn)足:數(shù)學(xué)公式,對(duì)于任意給定的正整數(shù)k,是否存在p,q∈N*,使ck=cp•cq?若存在,求p,q的值(只要寫(xiě)出一組即可);若不存在,說(shuō)明理由.

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