Question

在(3x

1

3

+x

1

2

)n的二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為t，其二項(xiàng)式系數(shù)之和為h，若h+t=272，則其二項(xiàng)展開式中x²項(xiàng)的系數(shù)為

1

．

Answer 1

分析：給二項(xiàng)式中的x賦值1求出展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和t；利用二項(xiàng)式系數(shù)和公式求出h，代入已知的等式，解方程求出n的值，得到表達(dá)式，求出二項(xiàng)式中x²項(xiàng)的系數(shù)即可．

解答：解：令二項(xiàng)式中的x為1得到各項(xiàng)系數(shù)之和t=4ⁿ
又各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和h=2ⁿ
∵t+h=272，
∴4ⁿ+2ⁿ=272，
解得n=4，
所以(3x

1

3

+x

1

2

)n=(3x

1

3

+x

1

2

)4，
它的展開式的通項(xiàng)為

C

K 4

34-Kx

4-k

3

+

k

2

，
二項(xiàng)展開式中x²項(xiàng)時(shí)k=4，
二項(xiàng)展開式中x²項(xiàng)的系數(shù)為：1；
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解決展開式的各項(xiàng)系數(shù)和問(wèn)題常用的方法是賦值法、考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ．