精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】如圖,在四棱錐OABCD中,底面ABCD四邊長為1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,MOA的中點,NBC的中點.

1)證明:直線MN∥平面OCD;

2)求異面直線ABMD所成角的大小;

3)求點B到平面OCD的距離.

【答案】(1) (2) .(3)

【解析】

試題方法一:(1)取OB中點E,連接MENE,證明平面MNE∥平面OCD,方法是兩個平面內相交直線互相平行得到,從而的到MN∥平面OCD;

2∵CD∥AB∴∠MDC為異面直線ABMD所成的角(或其補角)作AP⊥CDP,連接MP

∵OA⊥平面ABCD,∴CD⊥MP菱形的對角相等得到∠ABC=∠ADC=,

利用菱形邊長等于1得到DP=,而MD利用勾股定理求得等于,在直角三角形中,利用三角函數定義求出即可.

3AB∥平面OCDA和點B到平面OCD的距離相等,連接OP,過點AAQ⊥OP于點Q

∵AP⊥CD,OA⊥CD,∴CD⊥平面OAP∴AQ⊥CD,

∵AQ⊥OP,∴AQ⊥平面OCD,線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離,求出距離可得.

方法二:(1)分別以AB,AP,AO所在直線為xy,z軸建立坐標系,分別表示出A,B,O,M,N的坐標,

求出,,的坐標表示.設平面OCD的法向量為=x,y,z),則

解得,∴MN∥平面OCD

2)設ABMD所成的角為θ,表示出,利用a×b=|a||b|cosα求出叫即可.

3)設點B到平面OCD的距離為d,則d在向量上的投影的絕對值,由

.所以點B到平面OCD的距離為

解:方法一(綜合法)

1)取OB中點E,連接ME,NE

∵ME∥ABAB∥CD,∴ME∥CD

∵NE∥OC,平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD

2∵CD∥AB,∴∠MDC為異面直線ABMD所成的角(或其補角)

AP⊥CDP,連接MP

∵OA⊥平面ABCD∴CD⊥MP

,,

所以ABMD所成角的大小為

3∵AB∥平面OCD

A和點B到平面OCD的距離相等,連接OP,過點AAQ⊥OP于點Q,

∵AP⊥CDOA⊥CD,

∴CD⊥平面OAP,∴AQ⊥CD

∵AQ⊥OP∴AQ⊥平面OCD,線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離,

,

,所以點B到平面OCD的距離為

方法二(向量法)

AP⊥CD于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為x,y,z軸建立坐標系:

A00,0),B1,00),,

O0,0,2),M0,01),

1,,

設平面OCD的法向量為n=x,y,z),則×=0,×=0

,解得

×=,,﹣1×04,=0

∴MN∥平面OCD

2)設ABMD所成的角為θ,

,ABMD所成角的大小為

3)設點B到平面OCD的距離為d,則d在向量=04,)上的投影的絕對值,

,得d==

所以點B到平面OCD的距離為

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知函數.

(Ⅰ)求的單調區(qū)間;

(Ⅱ)設,若對任意,均存在使得,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知以為首項的數列滿足:

1)當時,求數列的通項公式;

2)當時,試用表示數列100項的和;

3)當是正整數),,正整數時,判斷數列,,是否成等比數列?并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】設數集由實數構成,且滿足:若),則.

(1)若,試證明中還有另外兩個元素;

(2)集合是否為雙元素集合,并說明理由;

(3)若中元素個數不超過8個,所有元素的和為,且中有一個元素的平方等于所有元素的積,求集合.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,三棱柱中,側面為菱形,.

(1)證明:

(2)若,,,求二面角的余弦值的絕對值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】對于任意的,若數列同時滿足下列兩個條件,則稱數列具有性質m;存在實數M,使得成立.

數列、中,),判斷是否具有性質m

若各項為正數的等比數列的前n項和為,且,求證:數列具有性質m

數列的通項公式對于任意,數列具有性質m,且對滿足條件的M的最小值,求整數t的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】在邊長為2的菱形中,,將菱形沿對角線對折,使二面角的余弦值為,則所得三棱錐的內切球的表面積為( )

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】某學校共有教職工900人,分成三個批次進行繼續(xù)教育培訓,在三個批次中男、女教職工人數如下表所示.已知在全體教職工中隨機抽取一名,抽到第二批次中女職工的概率是0.16.

第一批次

第二批次

第三批次

女教職工

196

男教職工

204

156

1)求的值;

2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全體教職工中抽取54名做培訓效果的調查,問應在第三批次中抽取教職工多少名?

3)已知,求第三批次中女教職工比男教職工多的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】在三棱錐 中,底面 是邊長為 2 的正三角形,頂點 在底面上的射影為的中心,若的中點,且直線與底面所成角的正切值為,則三棱錐外接球的表面積為( )

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案