【題目】在邊長為2的菱形中,,將菱形沿對角線對折,使二面角的余弦值為,則所得三棱錐的內(nèi)切球的表面積為( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

作出圖形,利用菱形對角線相互垂直的性質(zhì)得出DNACBNAC,可得出二面角BACD的平面角為∠BND,再利用余弦定理求出BD,可知三棱錐BACD為正四面體,可得出內(nèi)切球的半徑R,再利用球體的表面積公式可得出答案.

如下圖所示,

易知△ABC和△ACD都是等邊三角形,取AC的中點N,則DNAC,BNAC

所以,∠BND是二面角BACD的平面角,過點BBODNDN于點O,可得BO⊥平面ACD

因為在△BDN中,,所以,BD2BN2+DN2﹣2BNDNcos∠BND

BD=2.

故三棱錐ABCD為正四面體,則其內(nèi)切球半徑為正四面體高的,又正四面體的高為棱長的,故

因此,三棱錐ABCD的內(nèi)切球的表面積為

故選:C

練習(xí)冊系列答案
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1)根據(jù)圖象求函數(shù)解析式;

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3)由于受工廠污水處理能力的影響,環(huán)保部門要求該廠兩車間任意時刻的污水排放量之和不超過,若甲車間先投產(chǎn),為滿足環(huán)保要求,乙車間比甲車間至少需推遲多少小時投產(chǎn)?

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(1)若最后只剩下一個數(shù),則n應(yīng)滿足的充要條件是什么?

(2)n=2002到最后只剩下一個數(shù)為止,所有寫出的數(shù)包括原來的1,2…,2002)的總和是多少?

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(1)若的中點,求證:;

(2)在《九章算術(shù)》中,稱四個面都是直角三角形的三棱錐為“鱉臑”,若圖(2)中,三棱錐的體積為,則圖(2)是否為鱉臑?說明理由.

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2)若,求函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率.

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