Question

（本題13分）已知函數(shù)。

（Ⅰ）若，試判斷并證明的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)在上單調(diào)，且存在使成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值的表達(dá)式。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）；（Ⅲ）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增           1分

證明：              1分

則

                               2分

，在上單調(diào)遞增。  

（Ⅱ）當(dāng)時，

由于

則

則當(dāng)時，，單調(diào)增；

當(dāng)時，，單調(diào)減。

所以，當(dāng)時，在上單調(diào)增；                2分

又存在使成立

所以。              2分

綜上，的取值范圍為。

（Ⅲ）當(dāng)時，

由（Ⅰ）知在區(qū)間上單調(diào)遞增，    1分

由（Ⅱ）知，①當(dāng)時，在上單調(diào)增，

②當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又因為在上是連續(xù)函數(shù)

所以，①當(dāng)時，在上單調(diào)增，則；

②當(dāng)時，在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，

2分

則 

綜上，的最大值的表達(dá)式。                 2分

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的最值；基本不等式。

點(diǎn)評：解決恒成立問題常用變量分離法，變量分離法主要通過兩個基本思想解決恒成立問題， 思路1：在上恒成立；思路2: 在上恒成立。注意恒成立問題與存在性問題的區(qū)別。