Question

8．如圖：四棱錐P-ABCD中，底面是以O(shè)為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=$\frac{π}{3}$，M是BC上的點，且BM=$\frac{1}{2}$，
（1）證明：BC⊥平面POM；
（2）若邊PC與底面ABCD所成角的正切值為1，求平面PAD與平面PBC所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接OB，OM，推導(dǎo)出OM⊥BC，PO⊥BC，由此能證明BC⊥平面POM．
（2）以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)A，OB，OP為x，y，z軸，建立直角坐標系，利用向量法能求出平面PAD與平面PBC所成二面角的余弦值．

解答 證明：（1）連接OB，OM，由AB=2，∠BAD=$\frac{π}{3}$，BM=$\frac{1}{2}$，
得OB=1，OM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由勾股定理知，OM⊥BC，
由題意知，PO⊥BC，
∵PO∩OM=O，∴BC⊥平面POM．（6分）
解：（2）以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)A，OB，OP為x，y，z軸，建立直角坐標系，
則A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），D（0，-1，0），
由PC與底面ABCD所成角的正切值為1，
得P（0，0，$\sqrt{3}$），設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為平面PAD的法向量，
$\overrightarrow{PA}$=（$\sqrt{3}，0，\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PB}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=\sqrt{3}x-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=1，則$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，1），
同理得：平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（-1，$\sqrt{3}$，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{3}{5}$，
由法向量與兩平面的位置關(guān)系可得，
平面PAD與平面PBC所成二面角的余弦值為$\frac{3}{5}$．  （12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．