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【題目】已知．

（1）討論的單調性；

（2）已知函數有兩個極值點，求證：．

【答案】（1）當時，函數單調遞減；當時，函數單調遞增．（2）見解析.

【解析】

（1）先對函數求導，令，求出解為，從而可探究、隨自變量的變化，結合導數與單調性的關系即可求解；

（2）由（1）可知，記，結合基本不等式可證明，從而可知在上單調遞增，則可知，結合 的單調性可證明.

解：（1），記，則．

由， ，解得．

當時，，函數即單調遞減；

當時，，函數即單調遞增．

（2）由題意知有兩個零點，為，不妨設，

由（1）可知，．所以.

記

，則，因為，

由均值不等式可得，

當且僅當，即時，等號成立．所以在上單調遞增．

由，可得，即，

因為為函數的兩個零點，所以，所以，

又，所以，又函數在上單調遞減，

所以，即．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】產能利用率是工業(yè)總產出對生產設備的比率，反映了實際生產能力到底有多少在運轉發(fā)揮生產作用.汽車制造業(yè)的產能利用率的正常值區(qū)間為，稱為“安全線”.如圖是2017年第3季度到2019年第4季度的中國汽車制造業(yè)的產能利用率的統(tǒng)計圖.以下結論正確的是（ ）

A.10個季度中，汽車產能利用率低于“安全線”的季度有5個

B.10個季度中，汽車產能利用率的中位數為

C.2018年4個季度的汽車產能利用率的平均數為

D.與上一季度相比，汽車產能利用率變化最大的是2019年第4季度

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】春秋以前中國已有“抱甕而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊桿——桔槔，后發(fā)展成轆轤.19世紀末，由于電動機的發(fā)明，離心泵得到了廣泛應用，為發(fā)展機械提水灌溉提供了條件.圖形如圖所示為灌溉抽水管道在等高圖的上垂直投影，在A處測得B處的仰角為37度，在A處測得C處的仰角為45度，在B處測得C處的仰角為53度，A點所在等高線值為20米，若BC管道長為50米，則B點所在等高線值為( )（參考數據）

A.30米B.50米C.60米D.70米

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線：（為參數，），曲線：（為參數），與相切于點，以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求的極坐標方程及點的極坐標；

（2）已知直線：與圓：交于，兩點，記的面積為，的面積為，求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為a，線段B1D1上有兩個動點E，F，且EFa，以下結論正確的有（　�。�

A.AC⊥BE

B.點A到△BEF的距離為定值

C.三棱錐A﹣BEF的體積是正方體ABCD﹣A1B1C1D1體積的

D.異面直線AE，BF所成的角為定值

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）若函數在區(qū)間上有極值，求實數的取值范圍；

（2）若關于的方程有實數解，求實數的取值范圍；

（3）當，時，求證：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知是函數的極值點.

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）求證：函數存在唯一的極小值點，且.

（參考數據：，，其中為自然對數的底數）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了保障某種藥品的主要藥理成分在國家藥品監(jiān)督管理局規(guī)定的值范圍內，某制藥廠在該藥品的生產過程中，檢驗員在一天中按照規(guī)定每間隔2小時對該藥品進行檢測，每天檢測4次：每次檢測由檢驗員從該藥品生產線上隨機抽取20件產品進行檢測，測量其主要藥理成分含量（單位：）根據生產經驗，可以認為這條藥品生產線正常狀態(tài)下生產的產品的其主要藥理成分含量服從正態(tài)分布.

（1）假設生產狀態(tài)正常，記表示某次抽取的20件產品中其主要藥理成分含量在之外的藥品件數，求的數學期望；

（2）在一天的四次檢測中，如果有一次出現了主要藥理成分含量在之外的藥品，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現異常情況，需對本次的生產過程進行檢查；如果有兩次或兩次以上出現了主要藥理成分含量在之外的藥品，則需停止生產并對原材料進行檢測.

①下面是檢驗員在某次抽取的20件藥品的主要藥理成分含量：

10.02

9.78

10.04

9.92

10.14

9.22

10.13

9.91

9.95

10.09

9.96

9.88

10.01

9.98

10.05

10.05

9.96

10.12

經計算得，，.其中為抽取的第件藥品的主要藥理成分含量，用樣本平均數作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對本次的生產過程進行檢查？

②試確定一天中需停止生產并對原材料進行檢測的概率（精確到0.001）.

附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，，，，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】孫子定理是中國古代求解一次同余式組的方法，是數論中一個重要定理，最早可見于中國南北朝時期的數學著作《孫子算經》，年英國來華傳教士偉烈亞力將其問題的解法傳至歐洲，年英國數學家馬西森指出此法符合年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”．這個定理講的是一個關于整除的問題，現有這樣一個整除問題：將至這個整數中能被除余且被除余的數按由小到大的順序排成一列構成一數列，則此數列的項數是（ ）

A.B.C.D.

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