【題目】已知點(diǎn)P( ,1)和橢圓C: + =1.
(1)設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 試求△PF1F2的周長及橢圓的離心率;
(2)若直線l: x﹣2y+m=0(m≠0)與橢圓C交于兩個不同的點(diǎn)A,B,設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k1 , k2 , 求證:k1+k2=0.

【答案】
(1)解:橢圓C: + =1的a=2,b= ,c= =

點(diǎn)P( ,1)在橢圓C上,由橢圓定義可得|PF1|+|PF2|=2a=4,

△PF1F2的周長為2a+2c=4+2 ;

橢圓的離心率為e= =


(2)證明:聯(lián)立直線 x﹣2y+m=0和橢圓x2+2y2=4,

可得4x2+2 mx+m2﹣8=0,

由直線與橢圓有兩個交點(diǎn),且直線不過點(diǎn)P,

可得△=8m2﹣4×4(m2﹣8)>0,且m≠0,

解得﹣4<m<0或0<m<4.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

則x1+x2=﹣ m,x1x2= ,

y1= ,y2=

則k1+k2= + = +

= + + = +

= + = =0.


【解析】(1)求得橢圓的a,b,c,可得P在橢圓上,運(yùn)用橢圓的定義,即可得到△PF1F2的周長和橢圓的離心率;(2)聯(lián)立直線和橢圓方程,可得x的二次方程,運(yùn)用判別式大于0,以及韋達(dá)定理,結(jié)合直線的斜率公式,化簡整理,即可得證.

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(1)求橢圓C的方程;
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