已知函數(shù)f(x－2)＝ax2－(a－3)x＋(a－2)的圖象過點(1，0)，設(shè)g(x)＝f[f(x)]，F(xiàn)(x)＝p·g(x)＋q·f(x)(p、q∈R)．

(1)求a的值．

(2)求函數(shù)F(x)的解析式．

(3)是否存在實數(shù)p(p＞0)和q，使F(x)在區(qū)間(－∞，f(2))上是增函數(shù)且在(f(2)，0)上是減函數(shù)？請證明你的結(jié)論．

答案：
解析：

　　解：(1)由題意知a－(a－3)＋a－2＝0，解得a＝－1．

　　(2)∵a＝－1，

　　∴f(x－2)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，

　　即f(x)＝－x2＋1．

　　∴g(x)＝f[f(x)]＝－x4＋2x2．

　　∴F(x)＝－px4＋(2p－q)x2＋q．

　　(3)∵f(2)＝－3，則可假設(shè)存在實數(shù)p＞0和q，使得F(x)在區(qū)間(－∞，－3)上是增函數(shù)，在(－3，0)上是減函數(shù)．

　　設(shè)x1＜x2，則F(x1)－F(x2)＝(－)[－p(x12＋x22)＋2p－q]．

　　(i)當(dāng)x1、x2∈(－∞，－3)時，

　　∵F(x)是增函數(shù)，

　　∴F(x1)－F(x2)＜0．

　　又x12－x22＞0，

　　∴－p(x12＋x22)＋2p－q＜0．①

　　又x1＜－3，x2＜－3，

　　∴x12＋x22＞18．

　　∴－p(x12＋x22)＋2p－q＜－18p＋2p－q＝－16p－q．

　　要使①式成立，只需－16p－q≤0．

　　(ii)當(dāng)x1、x2∈(－3，0)時，F(xiàn)(x)是減函數(shù)，

　　∴F(x1)－F(x2)＞0．

　　又x12－x22＞0，

　　∴－p(x12＋x22)＋2p－q＞0．②

　　又∵x1、x2∈(－3，0)，

　　∴x12＋x22＜18．

　　∴－p(x12＋x22)＋2p－q＞－18p＋2p－q＝－16p－q．

　　要使②式成立，只需－16p－q≥0．綜合(i)(ii)可知－16p－q＝0，即16p＋q＝0．

　　∴存在實數(shù)p和q，使得F(x)在區(qū)間(－∞，－3)上是增函數(shù)，在(－3，0)上是減函數(shù)．


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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
x2-2
(x＜-
2
)，數(shù)列an滿足a1=1，
1
an+1
=f-1(an)，則通項公式an為（　�。�
A、2n-1
B、
1
2n-1
C、
2n-1
D、
1
2n-1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=sin
x
2
sin(
π
2
+
x
2
)
（1）求函數(shù)f（x）在[-π，0]上的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知角α滿足α∈(0，
π
2
)，2f(2α)+4f(
π
2
-2α)=1，求f（α）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=ln(2+3x)-
3
2
ax2，在x=
1
3
時取得極值，若關(guān)于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
(a-2)x-3
logax
(x≤1)
(x＞1)
在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為
（2，5]
（2，5]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=log
1a
(2-x)在其定義域上單調(diào)遞減，則函數(shù)g(x)=loga(1-x2)的單調(diào)增區(qū)間是
（0，1）
（0，1）
．

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