【題目】設(shè)橢圓：（）的右焦點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到的距離等于焦距．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)、是四條直線，所圍成的矩形在第一、第二象限的兩個(gè)頂點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，若，求證：為定值；

（3）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且滿足△與△的面積的比值為，求直線的方程．

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)求得，根據(jù)短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離求得，由此求得，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）求得的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，由求得，也即求得點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入橢圓，化簡(jiǎn)后證得為定值.

（3）將三角形和三角形的面積的比值，轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的比值，即.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，不符合題意.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)出直線的方程.代入橢圓方程，化簡(jiǎn)后寫出韋達(dá)定理.由，求得，代入韋達(dá)定理，由此解方程求得的值，進(jìn)而求得直線的方程.

（1）由已知，，

又，故，

所以，，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2），，

設(shè)，則，

由已知，即，

所以 ，所以，化簡(jiǎn)得為定值．

（3）等價(jià)于，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，不合題意．

故直線的斜率存在，設(shè)：，

由消去，得，

設(shè)，，則①，②，

由，得，，將其代入①②，得③，④.將③代入④，化簡(jiǎn)得，解得．

所以，直線的方程為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x），g（x）滿足關(guān)系g（x）=f（x）f（x+α），其中α是常數(shù)．

（1）設(shè)f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；

（2）設(shè)計(jì)一個(gè)函數(shù)f（x）及一個(gè)α的值，使得；

（3）當(dāng)f（x）=|sinx|+cosx，時(shí)，存在x1，x2∈R，對(duì)任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1-x2|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線，為拋物線上的點(diǎn)，若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為，則稱直線為點(diǎn)的“特征直線”.設(shè)、為方程（）的兩個(gè)實(shí)根，記.

（1）求點(diǎn)的“特征直線”的方程；

（2）已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的“特征直線”與雙曲線經(jīng)過(guò)二、四象限的漸進(jìn)線垂直，且與軸的交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的點(diǎn).求證：；

（3）已知、是拋物線上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，點(diǎn)、的“特征直線”分別為、，直線、相交于點(diǎn)，且與軸分別交于點(diǎn)、.求證：點(diǎn)在線段上的充要條件為（其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】棋盤上標(biāo)有第、、、、站，棋子開(kāi)始位于第站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到調(diào)到第站或第站時(shí)，游戲結(jié)束.設(shè)棋子位于第站的概率為.

（1）當(dāng)游戲開(kāi)始時(shí)，若拋擲均勻硬幣次后，求棋手所走步數(shù)之和的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（2）證明：；

（3）求、的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給出定理：在圓錐曲線中，是拋物線的一條弦，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)為.若兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，則的面積，試運(yùn)用上述定理求解以下各題：

（1）若，所在直線的方程為，是的中點(diǎn)，過(guò)且平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)為，求；

（2）已知是拋物線的一條弦，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)為，分別為和的中點(diǎn)，過(guò)且平行于軸的直線與拋物線分別交于點(diǎn)，若兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，求和；

（3）請(qǐng)你在上述問(wèn)題的啟發(fā)下，設(shè)計(jì)一種方法求拋物線：與弦圍成成的“弓形”的面積，并求出相應(yīng)面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為12．

（Ⅰ）求橢圓的方程

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，試判斷在軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為底邊的等腰三角形若存在，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某企業(yè)參加項(xiàng)目生產(chǎn)的工人為人，平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)萬(wàn)元.根據(jù)現(xiàn)實(shí)的需要，從項(xiàng)目中調(diào)出人參與項(xiàng)目的售后服務(wù)工作，每人每年可以創(chuàng)造利潤(rùn)萬(wàn)元（），項(xiàng)目余下的工人每人每年創(chuàng)造利圖需要提高

（1）若要保證項(xiàng)目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來(lái)名工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，則最多調(diào)出多少人參加項(xiàng)目從事售后服務(wù)工作？

（2）在（1）的條件下，當(dāng)從項(xiàng)目調(diào)出的人數(shù)不能超過(guò)總?cè)藬?shù)的時(shí)，才能使得項(xiàng)目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn)始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).

（1）求函數(shù)的最大值與最小值；

（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象；已知點(diǎn)，若函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，使得，求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如果實(shí)系數(shù)、、和、、都是非零常數(shù)．

（1）設(shè)不等式和的解集分別是、，試問(wèn)是的什么條件？并說(shuō)明理由．

（2）在實(shí)數(shù)集中，方程和的解集分別為和，試問(wèn)是的什么條件？并說(shuō)明理由．

（3）在復(fù)數(shù)集中，方程和的解集分別為和，證明：是的充要條件．

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