Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面底面，為中點(diǎn)，.

（I）在線段上是否存在點(diǎn),使得//平面，指出點(diǎn)的位置并證明；

（II）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）存在，為線段的中點(diǎn)；（II）.

【解析】

試題分析：（I）連結(jié)，由三角形的中位線長(zhǎng)定理可知，再由線面平行的判定定理可證得//平面；（II）取中點(diǎn)，則，，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，再求即可.

試題解析：

（I）存在點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，

證明：如圖，連結(jié)，

因?yàn)榈酌?/span>是正方形，所以與互相平分，

又因?yàn)?/span>是中點(diǎn)，所以是中點(diǎn)，

所以，

又因?yàn)?/span>，，

所以；

（II）取中點(diǎn)，

在中，因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)槊?/span>底面，且面面，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以，

以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，所以，則，

，

于是，

因?yàn)?/span>，所以是平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面的一個(gè)法向量是，

因?yàn)?/span>，所以，即，

令，則，

所以，

由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.