【題目】某市環(huán)保部門對(duì)市中心每天的環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后,發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)與時(shí)刻(時(shí))的關(guān)系為,,其中是與氣象有關(guān)的參數(shù),且.若用每天的最大值為當(dāng)天的綜合污染指數(shù),并記作.
(1)令,,求的取值范圍;
(2)求的表達(dá)式,并規(guī)定當(dāng)時(shí)為綜合污染指數(shù)不超標(biāo),求當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí),該市市中心的綜合污染指數(shù)不超標(biāo).
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)當(dāng)時(shí),得到;當(dāng)時(shí),,利用對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可求得,取并集得到結(jié)果;
(2)由(1)可將化為,得到的單調(diào)性后,可知最大值在或處取得;分別在和兩種情況下確定的最大值,即,由得到不等式,解不等式求得結(jié)果.
(1)當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)),又時(shí),
<>綜上所述:
(2)由(1)知:令,則,
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;時(shí),單調(diào)遞增
又,
①當(dāng)時(shí),
由得:
②當(dāng)時(shí),
由得:
綜上所述:當(dāng)時(shí),綜合污染指數(shù)不超標(biāo)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱臺(tái)的上下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形, = 4且 ⊥底面,點(diǎn)為的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 面 ;
(Ⅱ)在邊上找一點(diǎn),使∥面,
并求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓()的上頂點(diǎn)為,左焦點(diǎn)為,離心率為,直線與圓相切.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)且斜率存在的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),線段的垂直平分線交軸于點(diǎn),試判斷是否為定值?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠用鮮牛奶在某臺(tái)設(shè)備上生產(chǎn)A,B兩種奶制品.生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需鮮牛奶2噸,使用設(shè)備1小時(shí),獲利1 000元;生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸,使用設(shè)備1.5小時(shí),獲利1 200元.要求每天B產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過A產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍,設(shè)備每天生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過12小時(shí).假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W(單位:噸)是一個(gè)隨機(jī)變量,其分布列為
W | 12 | 15 | 18 |
P | 0.3 | 0.5 | 0.2 |
該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn),使其獲利最大,因此每天的最大獲利Z(單位:元)是一個(gè)隨機(jī)變量.
(I)求Z的分布列和均值;
(II)若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立,求3天中至少有1天的最大獲利超過10 000元的概率.
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【題目】“偉大的變革—慶祝改革開放40周年大型展覽”于2019年3月20日在中國國家博物館閉幕,本次特展緊扣“改革開放40年光輝歷程”的主線,多角度、全景式描繪了我國改革開放40年波瀾壯闊的歷史畫卷.據(jù)統(tǒng)計(jì),展覽全程呈現(xiàn)出持續(xù)火爆的狀態(tài),現(xiàn)場(chǎng)觀眾累計(jì)達(dá)423萬人次,參展人數(shù)屢次創(chuàng)造國家博物館參觀紀(jì)錄,網(wǎng)上展館點(diǎn)擊瀏覽總量達(dá)4.03億次.
下表是2019年2月參觀人數(shù)(單位:萬人)統(tǒng)計(jì)表
日期 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
人數(shù) | 3.0 | 3.1 | 2.5 | 2.3 | 5.4 | 6.8 | 6.2 | 6.7 | 5.5 | 4.9 | 3.2 | 3.0 | 2.7 | 2.5 |
日期 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |
人數(shù) | 2.4 | 2.9 | 3.2 | 2.8 | 2.9 | 2.3 | 3.0 | 2.9 | 3.1 | 3.0 | 3.1 | 3.1 | 3.1 | 3.0 |
根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答下列問題:
(1)請(qǐng)將2019年2月前半月(1~14日)和后半月(15~28日)參觀人數(shù)統(tǒng)計(jì)對(duì)比莖葉圖填補(bǔ)完整,并通過莖葉圖比較兩組數(shù)據(jù)方差的大。ú灰笥(jì)算出具體值,得出結(jié)論即可);
(2)將2019年2月參觀人數(shù)數(shù)據(jù)用該天的對(duì)應(yīng)日期作為樣本編號(hào),現(xiàn)從中抽樣7天的樣本數(shù)據(jù).若抽取的樣本編號(hào)是以4為公差的等差數(shù)列,且數(shù)列的第4項(xiàng)為15,求抽出的這7個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均值;
(3)根據(jù)國博以往展覽數(shù)據(jù)及調(diào)查統(tǒng)計(jì)信息可知,單日入館參觀人數(shù)為0~3(含3,單位:萬人)時(shí),參觀者的體驗(yàn)滿意度最佳,在從(2)中抽出的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取兩天的數(shù)據(jù),求這兩天參觀者的體驗(yàn)滿意度均為最住的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:()的左焦點(diǎn)為,是上一點(diǎn),且與軸垂直,,分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),且,且的面積是,其中是坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程.
(2)若過點(diǎn)的直線,互相垂直,且分別與橢圓交于點(diǎn),,,四點(diǎn),求四邊形的面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓,圓與圓外切于點(diǎn),且過點(diǎn),則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,已知四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形,點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)在底面上的射影為點(diǎn),點(diǎn)在棱上,且四棱錐的體積為.
(1)若點(diǎn)是的中點(diǎn),求證:平面平面;
(2)若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.
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