【題目】如圖,在四棱錐中,已知四邊形是邊長為的正方形,點(diǎn)的中點(diǎn),點(diǎn)在底面上的射影為點(diǎn),點(diǎn)在棱上,且四棱錐的體積為.

1)若點(diǎn)的中點(diǎn),求證:平面平面;

2)若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】1)求證見解析(2

【解析】

1是棱錐的高,由體積計(jì)算出高后計(jì)算出側(cè)棱長,得側(cè)面是等邊三角形,可證平面,再得面面垂直;

2)分別以軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各點(diǎn)坐標(biāo),求出平面的法向量,直線的方向向量,由向量法來求空間角.

1)依題意,平面,又是邊長為的正方形,且四棱錐的體積為,

所以,所以,

,點(diǎn)的中點(diǎn),所以,同理,,又,

所以平面,又平面,所以平面平面.

2)連接,易得,,互相垂直,分別以軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,,

因?yàn)?/span>為棱上一點(diǎn),設(shè),所,

設(shè)平面的法向量,則由,則,所以,又平面的法向量為,

所以,解得,所以

,所以,

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某市環(huán)保部門對(duì)市中心每天的環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后,發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)與時(shí)刻(時(shí))的關(guān)系為,,其中是與氣象有關(guān)的參數(shù),且.若用每天的最大值為當(dāng)天的綜合污染指數(shù),并記作

1)令,求的取值范圍;

2)求的表達(dá)式,并規(guī)定當(dāng)時(shí)為綜合污染指數(shù)不超標(biāo),求當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí),該市市中心的綜合污染指數(shù)不超標(biāo).

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【題目】如圖,設(shè)拋物線的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,過且與相切的直線交于另一點(diǎn),過且與相切的直線交于另一點(diǎn),記的面積.

(Ⅰ)求的值(用表示);

(Ⅱ)若,求的取值范圍.

注:若直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),且與拋物線的對(duì)稱軸不平行也不重合,則稱該直線與拋物線相切.

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【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為,是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且面積的最大值為.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)直線斜率為,且與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,是否存在點(diǎn),使得若存在,求的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】如圖,在三棱柱中,是邊長為2的菱形,且,是矩形,,且平面平面,點(diǎn)在線段上移動(dòng)(不與重合),的中點(diǎn).

1)當(dāng)四面體的外接球的表面積為時(shí),證明:.平面

2)當(dāng)四面體的體積最大時(shí),求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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【題目】已知直線半徑為的圓與直線相切,圓心軸上且在直線的上方.

1)求圓的方程;

2)設(shè)過點(diǎn) 的直線被圓截得弦長等于,求直線的方程;

3)過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)(軸上方),問在軸正半軸上是否存在點(diǎn),使得軸平分?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】北方的冬天戶外冰天雪地,若水管裸露在外,則管內(nèi)的水就會(huì)結(jié)冰從而凍裂水管,給用戶生活帶來不便.每年冬天來臨前,工作人員就會(huì)給裸露在外的水管保暖:在水管外面包裹保溫帶,用一條保溫帶盤旋而上一次包裹到位.某工作人員采用四層包裹法(除水管兩端外包裹水管的保溫帶都是四層):如圖1所示是相鄰四層保溫帶的下邊緣輪廓線,相鄰兩條輪廓線的間距是帶寬的四分之一.設(shè)水管的直徑與保溫帶的寬度都為4cm.在圖2水管的側(cè)面展開圖中,此保溫帶的輪廓線與水管母線所成的角的余弦值是( )(保溫帶厚度忽略不計(jì))

A.B.C.D.

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【題目】已知多面體中,為矩形,平面,,且,,,點(diǎn)的中點(diǎn).

1)求證:平面

2)求二面角的平面角的正弦值.

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【題目】冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族,己知可引起感冒以及中東呼吸綜合征()和嚴(yán)重急性呼吸綜合征()等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒()是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中,感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭,甚至死亡.

某醫(yī)院為篩查冠狀病毒,需要檢驗(yàn)血液是否為陽性,現(xiàn)有n)份血液樣本,有以下兩種檢驗(yàn)方式:

方式一:逐份檢驗(yàn),則需要檢驗(yàn)n.

方式二:混合檢驗(yàn),將其中k)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).

若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性,這k份的血液全為陰性,因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了,如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性,為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性,就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn),此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為.

假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中,每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的,且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p.現(xiàn)取其中k)份血液樣本,記采用逐份檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為,采用混合檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.

1)若,試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式;

2)若p與干擾素計(jì)量相關(guān),其中)是不同的正實(shí)數(shù),

滿足)都有成立.

i)求證:數(shù)列等比數(shù)列;

ii)當(dāng)時(shí),采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值更少,求k的最大值

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