A、B是拋物線y2＝2px(p＞0)上的兩點，滿足OA⊥OB(O為坐標原點)．求證：

(1)A、B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積分別為定值；

(2)直線AB經(jīng)過一個定點．

答案：
解析：

　　證明：(1)設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則y12＝2px1、＝2px2．

　　∵OA⊥OB，

　　∴x1x2＋y1y2＝0，＝4p2x1x2＝4p2·(－y1y2)．

　　∴y1y2＝－4p2，從而x1x2＝4p2也為定值．

　　(2)∵y12－y22＝2p(x1－x2)，∴＝．

　　∴直線AB的方程為y－y1＝(x－x1)，

　　即y＝x－·＋y1，

　　y＝x＋，

　　亦即y＝(x－2p)．

　　∴直線AB經(jīng)過定點(2p，0)．


練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源：中學教材標準學案　數(shù)學　高二上冊 題型：044

解答題

A、B是拋物線y2＝2px(p＞0)上的兩點，且OA⊥OB，求證：直線AB過定點(2p，0)．

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A、B是拋物線y2＝2px(p＞0)上的兩點，滿足＝0(O是原點)，求證：

(1)A、B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值；

(2)直線AB過定點．

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設(shè)A、B是拋物線y2＝2px(x＞0)上不同于頂點的兩個點，通過點A與拋物線頂點的直線交準線于點C，且BC∥x軸．證明直線AB經(jīng)過拋物線的焦點F．

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若A、B是拋物線y2＝4x上的不同兩點，弦AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點P，則稱弦AB是點P的一條“相關(guān)弦”．已知當x＞2時，點P(x，0)存在無窮多條“相關(guān)弦”．給定x0＞2．

(Ⅰ)證明：點P(x0，0)的所有“相關(guān)弦”的中點的橫坐標相同；

(Ⅱ)試問：點P(x0，0)的“相關(guān)弦”的弦長中是否存在最大值？若存在，求其最大值(用x0表示)：若不存在，請說明理由．

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