Question

若不存在整數(shù)x使不等式（kx-k²-4）（x-4）＜0成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)原不等式的解集為A，然后分k大于0且不等于2，k等于2，小于0和等于0四種情況考慮，當(dāng)k等于0時(shí)，代入不等式得到關(guān)于x的一元一次不等式，求出不等式的解集即為原不等式的解集；當(dāng)k大于0且k不等于2時(shí)，不等式兩邊除以k把不等式變形后，根據(jù)基本不等式判斷 k+

4

k

與4的大小即可得到原不等式的解集；當(dāng)k等于2時(shí)，代入不等式，根據(jù)完全平方式大于0，得到x不等于4，進(jìn)而得到原不等式的解集；當(dāng)k小于0時(shí)，不等式兩邊都除以k把不等式變形后，根據(jù) k+

4

k

小于4，得到原不等式的解集，綜上，得到原不等式的解集；

解答：解：設(shè)原不等式的解集為A，
當(dāng)k=0時(shí)，則x＞4，不合題意，
當(dāng)k＞0且k≠2時(shí)，原不等式化為[x-（ k+

4

k

）]（x-4）＜0，
∵k+

4

k

＞4，
∴A=(4，k+

4

k

)，要使不存在整數(shù)x使不等式（kx-k²-4）（x-4）＜0成立，
須k+

4

k

≤5，解得：1≤k≤4；
當(dāng)k=2時(shí)，A=∅，合題意，
當(dāng)k＜0時(shí)，原不等式化為[x-（ k+

4

k

）]（x-4）＞0，
∴A=（-∞，k+

4

k

）∪（4，+∞），不合題意，
故答案為：1≤k≤4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次不等式的解法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)考查了運(yùn)算能力，是一道中檔題．