Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在處取得極值，求在處的切線方程；

（2）討論的單調(diào)性；

（3）若函數(shù)在上無零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)在處取極值可得，可求得，驗證可知滿足題意；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，利用點斜式可求得切線方程；（2）求導(dǎo)后，分別在和兩種情況下討論導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得到的單調(diào)性；（3）根據(jù)在上無零點可知在上的最大值和最小值符號一致；分別在，兩種情況下根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解最大值和最小值，利用符號一致構(gòu)造不等式求得結(jié)果.

（1）由題意得：

在處取極值 ，解得：

則當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增

為的極小值點，滿足題意 函數(shù)

當(dāng)時，

由得：

在處的切線方程為：，即：

（2）由題意知：函數(shù)的定義域為，

①當(dāng)時

若，恒成立，恒成立

在內(nèi)單調(diào)遞減

②當(dāng)時

由，得：；由得：

在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增

綜上所述：當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增

（3）①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減

在上無零點，且

②當(dāng)時

（i）若，即，則在上單調(diào)遞增

由，知符合題意

（ii）若，即，則在上單調(diào)遞減

在上無零點，且

（iii）若，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

，，

符合題意

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是