Question

【題目】已知函數(shù)在時(shí)取得極值且有兩個(gè)零點(diǎn).

（1）求的值與實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）記函數(shù)兩個(gè)相異零點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)求出，得到函數(shù)解析式，再由有兩個(gè)零點(diǎn)，得到方程有2個(gè)不同實(shí)根，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法研究單調(diào)性與最值，即可求出的取值范圍；

（2）利用函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可證明不等式.

（1）因?yàn)?/span>，所以，

又在時(shí)取得極值，所以，即；

所以，

因?yàn)?/span>有兩個(gè)零點(diǎn)，所以方程有2個(gè)不同實(shí)根，

令，則，

由得；由得；

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，

所以，又時(shí)，；時(shí)，；

因此，要使方程有2個(gè)不同實(shí)根，只需與有兩不同交點(diǎn)，

所以；

（2）因?yàn)楹瘮?shù)兩個(gè)相異零點(diǎn)，所以，①；

即，即②；

又等價(jià)于，即③；

由①②③可得；

不妨令，則，

上式可化為；

設(shè)，則在上恒成立；

故函數(shù)在上單調(diào)遞增；

所以，即不等式成立；

因此，所證不等式成立.