Question

（本題滿分10分）在數(shù)列{a_n}，{b_n}中，a₁＝2，b₁＝4，且a_n，b_n，a_n＋1成等差數(shù)列，b_n，a_n＋1，b_n＋1成等比數(shù)列(n∈N^*)．求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜測(cè){a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

a₂＝6，b₂＝9，a₃＝12，b₃＝16，a₄＝20，b₄＝25.證明見解析.
猜測(cè)a_n＝n(n＋1)，b_n＝(n＋1)²，n∈N^*.     

主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用。
由條件得2b_n＝a_n＋a_n＋1，＝b_nb_n＋1，
由此可得a₂＝6，b₂＝9，a₃＝12，b₃＝16，a₄＝20，b₄＝25.
猜測(cè)a_n＝n(n＋1)，b_n＝(n＋1)²，n∈N^*.
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n＝1時(shí)，由已知a₁＝2，b₁＝4可得結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2且k∈N^*)時(shí)，結(jié)論成立，即
a_k＝k(k＋1)，b_k＝(k＋1)²，
那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
a_k＋1＝2b_k－a_k＝2(k＋1)²－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，
b_k＋1＝＝＝(k＋2)².
解：由條件得2b_n＝a_n＋a_n＋1，＝b_nb_n＋1，
由此可得a₂＝6，b₂＝9，a₃＝12，b₃＝16，a₄＝20，b₄＝25.
猜測(cè)a_n＝n(n＋1)，b_n＝(n＋1)²，n∈N^*.                     4分
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n＝1時(shí)，由已知a₁＝2，b₁＝4可得結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2且k∈N^*)時(shí)，結(jié)論成立，即
a_k＝k(k＋1)，b_k＝(k＋1)²，
那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
a_k＋1＝2b_k－a_k＝2(k＋1)²－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，
b_k＋1＝＝＝(k＋2)².
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立．
由①②可知，a_n＝n(n＋1)，b_n＝(n＋1)²對(duì)一切n∈N^*都成立．     10分