Question

【題目】在三棱錐S﹣ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2 ，M為AB的中點．

（1）求證：AC⊥SB；
（2）求二面角S﹣CM﹣A的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AC的中點O，連結(jié)OS、OB，

∵SA=SC，∴AC⊥OS，

∵BA=BC，∴AC⊥OB，

又OS，OB平面OSB，OS∩OB=O，

∴AC⊥平面OSB，

∴AC⊥SB

（2）解：∵平面SAC⊥平面ABC，SO⊥AC，

∴由面面垂直性質(zhì)定理，得SO⊥面ABC，

過O作OD⊥CM于D，連結(jié)SD，

由三垂線定理，得SD⊥CM，

∴∠SDO是二面角N﹣CM﹣B的平面角，

又SO=2 ，OD=1，∴SD= =3，

∴cos∠SDO= ，

∴二面角S﹣CM﹣A的平面角的余弦值為

【解析】（1）取AC的中點O，連結(jié)OS、OB，由已知推導出AC⊥OS，AC⊥OB，由此能證明AC⊥SB．（2）平面SAC⊥平面ABC，SO⊥AC，從而SO⊥面ABC，過O作OD⊥CM于D，連結(jié)SD，則∠SDO是二面角N﹣CM﹣B的平面角，由此能求出二面角S﹣CM﹣A的平面角的余弦值．
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面垂直的性質(zhì)，需要了解垂直于同一個平面的兩條直線平行才能得出正確答案．