Question

如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b．a(chǎn)≤3b，在AB，AD，CD，CB上分別截取AE，AH，CG，CF，且都等于x，則四邊形EFGH面積的最大值為

 

．

Answer 1

分析：題意可得a＞b＞0，a≤3b，四邊形EFGH面積S=ab-2[

1

2

x²+

1

2

（a-x）（b-x）]=-2x²+（a+b）x，0＜x≤b．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最大值．

解答：解：由題意可得a＞b＞0，a≤3b，且S_△AEH=S_△CFG=

1

2

 x²，S_△BEF=S_△DGH=

1

2

（a-x）（b-x），且 0＜x≤b．
故四邊形EFGH面積S=ab-2[

1

2

x²+

1

2

（a-x）（b-x）]=-2x²+（a+b）x．
再由a≤3b可得

a+b

4

≤b，故當(dāng)x=

a+b

4

時(shí)，S取得最大值為

(a+b)2

8

，
故答案為

(a+b)2

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．