Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中點，O為AE的中點，以AE為折痕將
△ADE向上折起，使D到P，且PC=PB
（1）求證：PO⊥面ABCE．（2）求AC與面PAB所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析：（1）取BC的中點F，連OF，PF，證明OF⊥BC，BC⊥PF，得到BC⊥面POF
從而證明BC⊥PO，可得PO⊥面ABCE
（2）作OG∥BC交AB于G，OG⊥OF如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)平面PAB的法向量為

n

=(x，y，z)

n • AP =-x+y+ 2 z=0 n • AB =4y=0

?

n

=(

2

，0，1)，得到AC與面PAB所成角θ的正弦值sinθ=|cos＜

n

，

AC

＞|=

30

15

解答：解：（1）PA=PE，OA=OE∴PO⊥AE（1）
取BC的中點F，連OF，PF，∴OF∥AB，∴OF⊥BC
因為PB=PC∴BC⊥PF，所以BC⊥面POF
從而BC⊥PO（2）
由（1）（2）可得PO⊥面ABCE
（2）作OG∥BC交AB于G，OG⊥OF如圖，建立直角坐標(biāo)系{

OG

，

OF

，

OP

}，
A(1，-1，0)，B(1，3，0)，C(-1，3，0)，P(0，0

2

)

AC

=(-2，4，0)，

AP

=(-1，1，

2

)，

AB

=(0，4，0)
設(shè)平面PAB的法向量為

n

=(x，y，z)

n • AP =-x+y+ 2 z=0 n • AB =4y=0

?

n

=(

2

，0，1)AC與面PAB所成角θ的正弦值sinθ=|cos＜

n

，

AC

＞|=

30

15

點評：本題是中檔題，考查直線與平面所成角正弦值的求法，直線與直線的垂直的證明方法，考查空間想象能力，計算能力，熟練掌握基本定理、基本方法是解決本題的關(guān)鍵．