【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an>0,Sn2=an+12﹣λSn+1,其中λ為常數(shù).
(1)證明:Sn+1=2Sn+λ;
(2)是否存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列{an}為等比數(shù)列,若存在,求出λ;若不存在,說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)存在,λ=1
【解析】
(1)利用已知條件通過an+1=Sn+1﹣Sn,推出Sn+1(Sn+1﹣2Sn﹣λ)=0,然后證明:Sn+1=2Sn+λ;.
(2)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用數(shù)列是等比數(shù)列,求解即可.
(1)證明:∵an+1=Sn+1﹣Sn,,
∴,
∴Sn+1(Sn+1﹣2Sn﹣λ)=0,
∴an>0,∴Sn+1>0,
∴Sn+1﹣2Sn﹣λ=0;
∴Sn+1 = 2Sn+λ
(2)解:∵Sn+1=2Sn+λ,Sn=2Sn﹣1+λ(n≥2),
相減得:an+1=2an(n≥2),∴{an}從第二項(xiàng)起成等比數(shù)列,
∵S2=2S1+λ即a2+a1=2a1+λ,
∴a2=1+λ>0得λ>﹣1,
∴an,
若使{an}是等比數(shù)列
則,∴2(λ+1)=(λ+1)2,
∴λ=1經(jīng)檢驗(yàn)得符合題意.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體的棱長為4,點(diǎn)E、F為棱CD、的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面ACF所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年4月10日21時(shí)整,全球六地(上海和臺(tái)北、布魯塞爾、圣地亞哥、東京和華盛頓同時(shí)召開新聞發(fā)布會(huì),宣布人類首次利用虛擬射電望遠(yuǎn)鏡,成功捕獲世界上首張黑洞圖像,公布的照片展示了一個(gè)中心為黑色的明亮環(huán)狀結(jié)構(gòu),看上去有點(diǎn)像個(gè)橙色的甜甜圈,其黑色部分是黑洞投下的“陰影”,明亮部分是繞黑洞高速旋轉(zhuǎn)的吸積盤.某同學(xué)作了一張黑洞示意圖,如圖所示,由兩個(gè)同心圓和半個(gè)同心圓環(huán)構(gòu)成圓及圓環(huán)的半徑從內(nèi)到外依次為2,3,4,5個(gè)單位在圖中隨機(jī)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自陰影的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】改革開放40多年來,城鄉(xiāng)居民生活從解決溫飽的物質(zhì)需求為主逐漸轉(zhuǎn)變到更多元化的精神追求,消費(fèi)結(jié)構(gòu)明顯優(yōu)化.下圖給出了1983~2017年部分年份我國農(nóng)村居民人均生活消費(fèi)支出與恩格爾系數(shù)(恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個(gè)人消費(fèi)支出總額的比重)統(tǒng)計(jì)圖.對所列年份進(jìn)行分析,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.農(nóng)村居民人均生活消費(fèi)支出呈增長趨勢
B.農(nóng)村居民人均食品支出總額呈增長趨勢
C.2011年至2015年農(nóng)村居民人均生活消費(fèi)支出增長最快
D.2015年到2017年農(nóng)村居民人均生活消費(fèi)支出增長比率大于人均食品支出總額增長比率
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為實(shí)現(xiàn)有效利用扶貧資金,增加貧困村民的收入,扶貧工作組結(jié)合某貧困村水質(zhì)優(yōu)良的特點(diǎn),決定利用扶貧資金從外地購買甲、乙、丙三種魚苗在魚塘中進(jìn)行養(yǎng)殖試驗(yàn),試驗(yàn)后選擇其中一種進(jìn)行大面積養(yǎng)殖,已知魚苗甲的自然成活率為0.8.魚苗乙,丙的自然成活率均為0.9,且甲、乙、丙三種魚苗是否成活相互獨(dú)立.
(1)試驗(yàn)時(shí)從甲、乙,丙三種魚苗中各取一尾,記自然成活的尾數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)乙種魚苗較好,扶貧工作組決定購買尾乙種魚苗進(jìn)行大面積養(yǎng)殖,為提高魚苗的成活率,工作組采取增氧措施,該措施實(shí)施對能夠自然成活的魚苗不產(chǎn)生影響.使不能自然成活的魚苗的成活率提高了50%.若每尾乙種魚苗最終成活后可獲利10元,不成活則虧損2元,且扶貧工作組的扶貧目標(biāo)是獲利不低于37.6萬元,問需至少購買多少尾乙種魚苗?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年初,新冠病毒肺炎(COVID﹣19)疫情在武漢爆發(fā),并以極快的速度在全國傳播開來.因該病毒暫無臨床特效藥可用,因此防控難度極大.湖北某地防疫防控部門決定進(jìn)行全面入戶排查4類人員:新冠患者、疑似患者、普通感冒發(fā)熱者和新冠密切接觸者,過程中排查到一戶5口之家被確認(rèn)為新冠肺炎密切接觸者,按要求進(jìn)一步對該5名成員逐一進(jìn)行核糖核酸檢測,若出現(xiàn)陽性,則該家庭定義為“感染高危戶”,設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測呈陽性的概率相同均為,且相互獨(dú)立,該家庭至少檢測了4人才能確定為“感染高危戶”的概率為,當(dāng)時(shí),最大,此時(shí)( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AC=,BC=AA1=2,O,M分別為BC,AA1的中點(diǎn).
(1)求證:OM∥平面CB1A1;
(2)求點(diǎn)M到平面CB1A1的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正四棱柱的底面邊長為2,側(cè)棱長為4,過點(diǎn)作平面與正四棱柱的三條側(cè)棱,,分別交于,,,且,若多面體和多面體的體積比為3∶5,則截面的周長為_________.
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