已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為，且.
⑴求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
⑵設，求證：；
⑶設，，求.

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

解析試題分析：（1）一般數(shù)列問題中出現(xiàn)數(shù)列前的和與其項時，則可利用關系找出數(shù)列的遞推關系，本題可從此入手，證明數(shù)列為等差數(shù)列；(2)由(1)可求出，根據(jù)此式的結構特征，可得，利用裂項相消法求其前的和后再予以判斷；(3)根據(jù)數(shù)列的結構特點(等差乘等比型)可用錯位相減法求和.證明數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，應緊扣定義，通過對所給條件變形，得到遞推關系，而等差乘等比型數(shù)列的求和最常用的就是錯位相減法，使用這個方法在計算上要有耐心和細心，注意各項的符號，防止出錯.
試題解析：⑴證明：，當時，或，又.            1分
由，得，

數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列；            4分
⑵證明：由⑴知，，

.            8分
⑶，，      ①
         ②
由①－②得，
.            12分
考點：等差數(shù)列、等比數(shù)列、錯位相減法.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

各項均為正數(shù)的數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，對任意，有
．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）記，求數(shù)列的前項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

數(shù)列的通項，其前n項和為．
（1）求；
（2）求數(shù)列｛｝的前n項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

數(shù)列的前項和為，且是和的等差中項，等差數(shù)列滿足，.
（1）求數(shù)列、的通項公式；
（2）設，數(shù)列的前項和為，證明：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前項和，滿足：.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項；
（Ⅱ）若數(shù)列的滿足，為數(shù)列的前項和，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前n項和為，且=－n+20n，n∈N．
(Ⅰ)求通項；
(Ⅱ)設是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式及其前n項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前n項和為，點在直線上.數(shù)列{bn}滿足，前9項和為153.
（Ⅰ）求數(shù)列、的通項公式；
（Ⅱ）設，數(shù)列的前n和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數(shù)k的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列滿足，；
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和，并求當最大時序號的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前項和為，且有，.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項和；
（Ⅲ）若，且數(shù)列 中的 每一項總小于它后面的項，求實數(shù)的取值范圍.

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