已知O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AO、BO、CO并延長(zhǎng)交對(duì)邊于A′、B′、C′，則
OA′
AA′
+
OB′
BB′
+
OC′
CC′
=1，運(yùn)用類比猜想，對(duì)于空間中四面體A-BCD有
OA′
AA′
+
OB′
BB′
+
OC′
CC′
+
OD′
DD′
=1
OA′
AA′
+
OB′
BB′
+
OC′
CC′
+
OD′
DD′
=1
．
分析：先根據(jù)所給的定理寫(xiě)出猜想的定理，把面積類比成體積，把面積之和等于1，寫(xiě)成體積之和等于1，再進(jìn)行證明．
解答：解：猜想：若O四面體ABCD內(nèi)任意點(diǎn)，AO，BO，CO，DO并延長(zhǎng)交對(duì)面于A′，B′，C′，D′，則
OA′
AA′
+
OB′
BB′
+
OC′
CC′
+
OD′
DD′
=1
用“體積法”證明如下：
OA′
AA′
+
OB′
BB′
+
OC′
CC′
+
OD′
DD′

=
VO-BCD
VA-BCD
+
VO-CAD
VA-BCD
+
VO-ABD
VC-ABD
+
VO-ABC
VD-ABC
=
VABCD
VABCD
=1
故答案為：
OA′
AA′
+
OB′
BB′
+
OC′
CC′
+
OD′
DD′
=1
點(diǎn)評(píng)：本題考查類比推理，是一個(gè)基礎(chǔ)題，這種題目的解題的關(guān)鍵是要根據(jù)所給的定理類比出可能的定理，后面再進(jìn)行證明．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，o為平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足等式
OP
=
1
3
[(1-λ)
OA
+(1-λ)
OB
+(1+2λ)
OC
](λ∈R且λ≠1，則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O為平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足等式
OP
=
1
3
[（1-λ）
OA
+（1-λ）
OB
+（1+2λ）
OC
]（λ∈R且λ≠0），則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的
重心
重心
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O為平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足等式
OP
=
1
3
[（1-λ）
OA
+（1-λ）
OB
+（1+2λ）
OC
]（λ∈R且λ≠0），則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年湖北省天門(mén)市部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O為平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足等式=[（1-λ）+（1-λ）+（1+2λ）]（λ∈R且λ≠0），則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的    ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市瀏陽(yáng)一中高三（下）第三次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，o為平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足等式且λ≠1，則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（ ）
A．內(nèi)心
B．垂心
C．重心
D．外心

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