Question

已知A，B，C是平面上不共線的三點，O為平面ABC內(nèi)任一點，動點P滿足等式

OP

=

1

3

[（1-λ）

OA

+（1-λ）

OB

+（1+2λ）

OC

]（λ∈R且λ≠0），則點P的軌跡一定通過△ABC的

重心

．

Answer 1

分析：根據(jù)向量的加法的平行四邊形法則向量的運算法則，取AB的中點D，對

OP

=

1

3

[(1-λ)

OA

+(1-λ)

OB

+(1+2λ)

OC

]進(jìn)行化簡，得到

2(1-λ)

3

OD

+

1+2λ

3

OC

，根據(jù)三點共線的充要條件知道P、C、D三點共線，從而得到點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心．

解答：解：取AB的中點D，則 2

OD

=

OA

+

OB

∵

OP

=

1

3

[(1-λ)

OA

+(1-λ)

OB

+(1+2λ)

OC

]
∴

OP

=

1

3

[(1-λ)(2

OD

)+(1+2λ)

OC

]
=

2(1-λ)

3

OD

+

1+2λ

3

OC

，
而

2(1-λ)

3

+

1+2λ

3

=1，
∴P、C、D三點共線，
∴點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心．
故答案為：重心．

點評：本小題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用、三點共線的充要條件的應(yīng)用、三角形五心等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．