Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= x2+ax+1（a∈R）． （Ⅰ）當a= 時，求不等式f（x）＜3的解集；
（Ⅱ）當0＜x＜2時，不等式f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）求關(guān)于x的不等式f（x）﹣ a2﹣1＞0的解集．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a= 時，不等式f（x）＜3，

即為 x2+ x+1＜3，即3x2+x﹣4＜0，

解得﹣ ＜x＜1，

則原不等式的解集為（﹣ ，1）；

（Ⅱ）當0＜x＜2時，不等式f（x）＞0恒成立，

即有 x2+ax+1＞0在0＜x＜2恒成立，

即為﹣a＜ x+ 在0＜x＜2恒成立，

由y= x+ 的導數(shù)為y′= ﹣ ，

可得函數(shù)y在（0， ）遞減，（ ，2）遞增，

則y= x+ 的最小值為2 = ，

即有﹣a＜ ，解得a＞﹣ ；

（Ⅲ）f（x）﹣ a2﹣1＞0，

即為3x2+2ax﹣a2＞0，

即（x+a）（3x﹣a）＞0，

當a=0時，即為x2＞0，解集為{x|x≠0}；

當a＞0時， ＞﹣a，解集為{x|x＞ 或x＜﹣a}；

當a＜0時， ＜﹣a，解集為{x|x＜ 或x＞﹣a}．

【解析】（Ⅰ）化簡為二次不等式的一般式，解不等式即可得到所求解集；（Ⅱ）由題意可得 x2+ax+1＞0在0＜x＜2恒成立，即為﹣a＜ x+ 在0＜x＜2恒成立，求出y= x+ 的導數(shù)，單調(diào)區(qū)間，可得最小值，即可得到a的范圍；（Ⅲ）f（x）﹣ a2﹣1＞0，即為3x2+2ax﹣a2＞0，即（x+a）（3x﹣a）＞0，對a討論，a=0，a＞0，a＜0，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解解一元二次不等式的相關(guān)知識，掌握求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項前的系數(shù)為正數(shù);二判：判斷對應方程的根;三求：求對應方程的根;四畫：畫出對應函數(shù)的圖象;五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集;規(guī)律：當二次項系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊．