Question

已知函數(shù)f（a^x）=x，g（x）=2log_a（2x+t-2），其中a＞0且a≠1，t∈R．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式，并指出其定義域；
（2）若t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）已知0＜a＜1，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，有f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式，可以用換元法求解；
（2）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出函數(shù)的最小值，令其等于2，利用此方程求出實(shí)數(shù)a的值；
（3）令F（x）=g（x）-f（x），求出其在x∈[1，2]時(shí)最大值，讓最大值小于等于0即可得到實(shí)數(shù)t的不等式，解此不等式即可．

解答：解：（1）令m=a^x，則x=log_am，則y=f（x）=log_ax，定義域?yàn)椋?，+∞）；
（2）由題F（x）=g（x）-f（x）=2log_a（2x+2）-log_ax=log_a

4x 2+8x+4

x

=og_a（4x+

4

x

+8），
∵4x+

4

x

+8≥16，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)4x=

4

x

，即當(dāng)x=1時(shí)成立
又F（x）=g（x）-f（x）有最小值2，可得a＞1，且log_a16=2
故a²=16，解得a=4
（3）f（x）≥g（x），可得log_ax≥2log_a（2x+t-2），
又0＜a＜1，可得

x

≤2x+t-2，可得t≥

x

-2x+2=-2(

x

-

1

4

) 2+

17

8

由0＜a＜1，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，有f（x）≥g（x）恒成立可得
t≥

x

-2x+2=-2(

x

-

1

4

) 2+

17

8

在x∈[1，2]恒成立
由于x=1時(shí)-2(

x

-

1

4

) 2+

17

8

取到最大值1
可得t≥1

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的恒成立的問題，函數(shù)恒成立問題的求解，關(guān)鍵正確轉(zhuǎn)化，通過過轉(zhuǎn)化為其等價(jià)的方程或不等式解決恒成立的問題中的參數(shù)的范圍，是此類題的固定思路．本題抽象難以理解．