Question

（1）已知函數f(x)=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ） 求f（x）的定義域和值域；
（Ⅱ） 討論f（x）的單調性．
（2）已知f（x）=2+log₃x（x∈[1，9]），求函數y=[f（x）]²+f（x²）的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）易得f（x）的定義域為{x|x∈R}．設y=

ax-1

ax+1

，解得a^x=-

y+1

y-1

①，根據a^x＞0，可得當且僅當-

y+1

y-1

＞0時，方程①有解．解-

y+1

y-1

＞0，求得y的范圍．
（Ⅱ）f（x）=

(ax+1-2)

ax+1

=1-

2

ax+1

，分當a＞1時和 當0＜a＜1時，兩種情況，分別研究函數的單調性．
（2）根據 1≤x≤9，可得 0≤log₃x≤2，由此可得 4≤f²（x）≤16．再由 1≤x≤9，可得 1≤x²≤81，得 2≤f（x²）=2+log3x2≤6．由此求得函數y=[f（x）]²+f（x²）的最大值和最小值．

解答：（1）解：（Ⅰ）易得f（x）的定義域為{x|x∈R}．設y=

ax-1

ax+1

，解得a^x=-

y+1

y-1

①
∵a^x＞0當且僅當-

y+1

y-1

＞0時，方程①有解．解-

y+1

y-1

＞0，求得-1＜y＜1．
∴f（x）的值域為{y|-1＜y＜1}．
（Ⅱ）f（x）=

(ax+1-2)

ax+1

=1-

2

ax+1

．
1°當a＞1時，∵a^x+1為增函數，且a^x+1＞0．
∴

2

ax+1

為減函數，從而f（x）=1-

2

ax+1

=

ax-1

ax+1

為增函數．
2°當0＜a＜1時，類似地可得f（x）=

ax-1

ax+1

 為減函數．
（2）解：∵1≤x≤9，可得 0≤log₃x≤2，∴2≤f（x）≤4，∴4≤f²（x）≤16．
∵1≤x≤9，可得 1≤x²≤81，0≤log3x2≤4，∴2≤f（x²）=2+log3x2≤6．
故函數y=[f（x）]²+f（x²）的最大值為16+6=22，最小值為 4+2=6．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質，分式不等式的解法，屬于中檔題．