Question

【題目】已知函數(shù)，其中函數(shù)，.

（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值；

（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)于給定的正整數(shù)，問：函數(shù)是否有零點(diǎn)？請(qǐng)說明理由.（參考數(shù)據(jù)，，，）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)，理由見解析.

【解析】

（1）由導(dǎo)數(shù)可得切線斜率，進(jìn)而由點(diǎn)斜式即可得切線方程；

（2）先求得，可得或，再比較和的大小，利用函數(shù)單調(diào)性可得最大值；

（3）先證明，函數(shù)無零點(diǎn)，構(gòu)造，，利用可證得，，函數(shù)有零點(diǎn)，利用零點(diǎn)存在性定理即可證得.

（1），故，，∴切線方程為，即.

（2），，可得或.

①，即時(shí)，在上遞減，在上遞增，

∴；

②，即時(shí)，在上遞增，遞減，在上遞增，

∴；

綜上所述，；

（3），函數(shù)無零點(diǎn)，

，函數(shù)有零點(diǎn).

理由如下：

時(shí)，證明即可，即證明.

令，，

而，

令，解得：，令，解得：，

∴，

，

令，解得：，

令，解得：，

故，

∴，

故命題得證.

當(dāng)時(shí)，，

，，

所以，函數(shù)有零點(diǎn).