【題目】當前,以“立德樹人”為目標的課程改革正在有序推進. 高中聯(lián)招對初三畢業(yè)學生進行體育測試,是激發(fā)學生、家長和學校積極開展體育活動,保證學生健康成長的有效措施. 某地區(qū)2018年初中畢業(yè)生升學體育考試規(guī)定,考生必須參加立定跳遠、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試,三項考試滿分為50分,其中立定跳遠15分,擲實心球15分,1分鐘跳繩20分. 某學校在初三上學期開始時要掌握全年級學生每分鐘跳繩的情況,隨機抽取了100名學生進行測試,得到右邊頻率分布直方圖,且規(guī)定計分規(guī)則如下表:
(1)現(xiàn)從樣本的100名學生中,任意選取2人,求兩人得分之和不大于33分的概率;
(2)若該校初三年級所有學生的跳繩個數(shù)服從正態(tài)分布,用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計總體的期望和方差,已知樣本方差 (各組數(shù)據(jù)用中點值代替). 根據(jù)往年經(jīng)驗,該校初三年級學生經(jīng)過一年的訓練,正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進步,假設今年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學期開始時個數(shù)增加10個,現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型:
(。╊A估全年級恰好有2000名學生時,正式測試每分鐘跳182個以上的人數(shù);(結果四舍五入到整數(shù))
(ⅱ)若在全年級所有學生中任意選取3人,記正式測試時每分鐘跳195個以上的人數(shù)為,求隨機變量的分布列和期望. 附:若隨機變量服從正態(tài)分布,則,,.
【答案】(1);(2)(ⅰ)1683人;(ⅱ)分布列見解析,.
【解析】
(1)分成兩人得分均為16分,或兩人中1人16分,1人17分兩種情況,計算得到答案.
(2)(ⅰ)先計算,得到,代入公式計算得到答案.
(2)(ⅱ)每分鐘跳繩個數(shù)195以上的概率為0. 5,計算概率得到分布列,再計算數(shù)學期望得到答案.
(1)兩人得分之和不大于33分,即兩人得分均為16分,或兩人中1人16分,1人17分,
(2)
又,所以正式測試時,,∴.
(。,
∴(人)
(ⅱ)由正態(tài)分布模型,全年級所有學生中任取1人,每分鐘跳繩個數(shù)195以上的概率為0. 5,即
∴;;
; .
∴的分布列為
.
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【題目】如圖,傾斜角為a的直線經(jīng)過拋物線的焦點F,且與拋物線交于A、B兩點.
(1)求拋物線的焦點F的坐標及準線的方程;
(2)若a為銳角,作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P,證明|FP|-|FP|cos2a為定值,并求此定值.
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【題目】已知函數(shù),a為常數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性:
(2)若函數(shù)有兩個極值點,且,求證:.
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【題目】如圖,在直角梯形中,,,,直角梯形可以通過直角梯形以直線為軸旋轉得到,且平面平面.
(1)求證:;
(2)設、分別為、的中點,為線段上的點(不與點重合).
(i)若平面平面,求的長;
(ii)線段上是否存在,使得直線平面,若存在求的長,若不存在說明理由.
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【題目】已知橢圓的焦點在x軸上,一個頂點為,離心率為,過橢圓的右焦點F的直線l與坐標軸不垂直,且交橢圓于A,B兩點.
求橢圓的方程;
設點C是點A關于x軸的對稱點,在x軸上是否存在一個定點N,使得C,B,N三點共線?若存在,求出定點的坐標;若不存在,說明理由;
設,是線段為坐標原點上的一個動點,且,求m的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),其中函數(shù),.
(1)求函數(shù)在點處的切線方程;
(2)當時,求函數(shù)在上的最大值;
(3)當時,對于給定的正整數(shù),問:函數(shù)是否有零點?請說明理由.(參考數(shù)據(jù),,,)
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【題目】如圖,將數(shù)字1,2,3,…, ()全部填入一個2行列的表格中,每格填一個數(shù)字,第一行填入的數(shù)字依次為, ,…, ,第二行填入的數(shù)字依次為, ,…, .記.
(Ⅰ)當時,若, , ,寫出的所有可能的取值;
(Ⅱ)給定正整數(shù).試給出, ,…, 的一組取值,使得無論, ,…, 填寫的順序如何, 都只有一個取值,并求出此時的值;
(Ⅲ)求證:對于給定的以及滿足條件的所有填法, 的所有取值的奇偶性相同.
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【題目】某中學2018年的高考考生人數(shù)是2015年高考考生人數(shù)的倍,為了更好地對比該?忌纳龑W情況,統(tǒng)計了該校2015年和2018年的高考情況,得到如圖柱狀圖:
則下列結論正確的是
A. 與2015年相比,2018年一本達線人數(shù)減少
B. 與2015年相比,2018年二本達線人數(shù)增加了倍
C. 2015年與2018年藝體達線人數(shù)相同
D. 與2015年相比,2018年不上線的人數(shù)有所增加
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【題目】如圖,拋物線:的焦點為,以為直角頂點的等腰直角的三個頂點,,均在拋物線上.
(1)過作拋物線的切線,切點為,點到切線的距離為2,求拋物線的方程;
(2)求面積的最小值.
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