Question

在平面直角坐標系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2

2

的圓C經過坐標原點O．
（1）求圓C的方程；
（2）是否存在直線l：x-y-m=0與圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點恰在拋物線x²=4y上，若l存在，請求出m的值，若l不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意，設圓心坐標為（a，a+4），利用半徑為2

2

的圓C經過坐標原點O，可得a²+（a+4）²=8，從而可得圓心坐標，進而可求圓C的方程；
（2）將直線l：x-y-m=0與圓C聯(lián)立，消去y可得：2x²-2mx+m²+4m=0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=m
，y₁+y₂=x₁+x₂+2m=3m，利用線段AB的中點恰在拋物線x²=4y上，可求得m=0或m=24，再驗證△=4m²-8（m²+4m），即可知是否存在．

解答：解：（1）由題意，設圓心坐標為（a，a+4）
∵半徑為2

2

的圓C經過坐標原點O
∴a²+（a+4）²=8
∴a²+4a+4=0
∴a=-2
∴圓心坐標為（-2，2）
∴圓C的方程：（x+2）²+（y-2）²=8
（2）將直線l：x-y-m=0與圓C聯(lián)立，消去y可得：2x²-2mx+m²+4m=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=m
∴y₁+y₂=x₁+x₂+2m=3m
∵線段AB的中點恰在拋物線x²=4y上
∴(

m

2

，

3

2

m)滿足方程x²=4y
∴(

m

2

)2=4×

3m

2

∴m=0或m=24
當m=0時，△=4m²-8（m²+4m）=0，不符合題意．
當m=24時，△=4m²-8（m²+4m）＜0
所以不存在直線l：x-y-m=0與圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點恰在拋物線x²=4y上

點評：本題考查的重點是圓的方程，考查直線與圓相交，解題時，將直線與圓聯(lián)立是關鍵，判別式是否驗證是易錯點．