(2011•太原模擬)已知AC、BD為圓O:x2+y2=4的兩條相互垂直的弦,垂足為M(1,
2
),則四邊形ABCD的面積的最大值為
5
5
分析:設(shè)圓心到AC、BD的距離分別為d1、d2,則 d12+d22 =3,代入面積公式s=
1
2
AC×BD,使用基本不等式求出四邊形ABCD的面積的最大值.
解答:解:如圖
連接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分別為E、F
∵AC⊥BD
∴四邊形OEMF為矩形
已知OA=OC=2  OM=
3
,
設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d1、d2,
則d12+d22=OM2=3.
四邊形ABCD的面積為:s=
1
2
•|AC|(|BM|+|MD|),
從而:
s=
1
2
|AC|•|BD|=2
(4-
d
2
1
)(4-
d
2
2
)
≤8-(
d
2
1
+
d
2
2
)=5

當(dāng)且僅當(dāng)d12 =d22時(shí)取等號(hào),
故答案為:5.
點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生掌握垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用,靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)求值,是一道中檔題.解答關(guān)鍵是四邊形面積可用互相垂直的2條對(duì)角線長度之積的一半來計(jì)算.
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(-1,+∞)

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x23
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2
2

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