Question

已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為．
(Ⅰ）求橢圓的方程；
(Ⅱ）已知?jiǎng)又本�與橢圓相交于、兩點(diǎn)． ①若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求斜率的值；②若點(diǎn)，求證：為定值．

Answer 1

(Ⅰ)；(Ⅱ)①；②.

解析試題分析：(Ⅰ)根據(jù)已知條件可設(shè)橢圓方程為：，則有，，，求解即可得到和的值，將對(duì)應(yīng)的解代入橢圓方程即可；(Ⅱ)①將直線方程代入橢圓方程求得，，求得、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，由已知條件“中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為”，得到，從而解得的值；
②根據(jù)①的、兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得③，結(jié)合、兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足直線方程，將③式化簡(jiǎn)整理得，再由①中的根與系數(shù)的關(guān)系：，，代入化簡(jiǎn)即可.
試題解析：(Ⅰ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/56/5/1tjpu2.png" style="vertical-align:middle;" />滿足，，，
解得，，
則橢圓方程為：.                3分
(Ⅱ)①將代入中得，，
，
設(shè)，，則，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/03/9/c1q2w1.png" style="vertical-align:middle;" />中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，
解得.            6分
②由①知，，，
所以




.                  12分
考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.橢圓的性質(zhì)；3.方程的根與系數(shù)的關(guān)系；4.中點(diǎn)坐標(biāo)公式；5.平面向量的數(shù)量積