【題目】已知函數(shù)g(x)=ax2﹣2ax+b+1(a>0)在區(qū)間[2,3]上有最大值4和最小值1.設(shè)f(x)=
(1)求a、b的值;
(2)若不等式f(2x)﹣k2x≥0在x∈[﹣1,1]上有解,求實數(shù)k的取值范圍.

【答案】
(1)解:函數(shù)g(x)=ax2﹣2ax+b+1=a(x﹣1)2+1+b﹣a,

因為a>0,所以g(x)在區(qū)間[2,3]上是增函數(shù),故 ,解得


(2)解:由已知可得f(x)=x+ ﹣2,所以,不等式f(2x)﹣k2x≥0可化為 2x+ ﹣2≥k2x,

可化為 1+ ﹣2 ≥k,令t= ,則 k≤t2﹣2t+1.

因 x∈[﹣1,1],故 t∈[ ,2].故k≤t2﹣2t+1在t∈[ ,2]上能成立.

記h(t)=t2﹣2t+1,因為 t∈[ ,2],故 h(t)max =h(2)=1,

所以k的取值范圍是(﹣∞,1]


【解析】(1)由函數(shù)g(x)=a(x﹣1)2+1+b﹣a,a>0,所以g(x)在區(qū)間[2,3]上是增函數(shù),故 ,由此解得a、b的值.(2)不等式可化為 2x+ ﹣2≥k2x , 故有 k≤t2﹣2t+1,t∈[ ,2],求出h(t)=t2﹣2t+1的最大值,從而求得k的取值范圍.
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值和函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,掌握當(dāng)時,當(dāng)時,;當(dāng)時在上遞減,當(dāng)時,;二次函數(shù)的零點:(1)△>0,方程 有兩不等實根,二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個交點,二次函數(shù)有兩個零點;(2)△=0,方程 有兩相等實根(二重根),二次函數(shù)的圖象與 軸有一個交點,二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點;(3)△<0,方程 無實根,二次函數(shù)的圖象與 軸無交點,二次函數(shù)無零點即可以解答此題.

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