Question

【題目】已知函數(shù)， （， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）試討論函數(shù)的極值情況；

（2）證明：當(dāng)且時(shí)，總有.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）求定義域內(nèi)的所有根；判斷的根左右兩側(cè)值的符號(hào)即可得結(jié)果；（2）當(dāng)時(shí)， ，研究函數(shù)的單調(diào)性，兩次求導(dǎo)，可證明在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)， ，即可得結(jié)果.

試題解析：（1）的定義域?yàn)?/span>，

.

①當(dāng)時(shí)， ，故在內(nèi)單調(diào)遞減， 無(wú)極值；

②當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.

故在處取得極大值，且極大值為， 無(wú)極小值.

（2）證法一：當(dāng)時(shí)， .

設(shè)函數(shù) ，

則.記，

則.

當(dāng)變化時(shí)， ， 的變化情況如下表：

由上表可知，

而 ，

由，知，

所以，

所以，即.

所以在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).

所以當(dāng)時(shí)， .

即當(dāng)且時(shí)， .

所以當(dāng)且時(shí)，總有.

證法二：當(dāng)時(shí)， .

因?yàn)?/span>且，故只需證.

當(dāng)時(shí)， 成立；

當(dāng)時(shí)， ，即證.

令，則由，得.

在內(nèi)， ；

在內(nèi)， ，

所以.

故當(dāng)時(shí)， 成立.

綜上得原不等式成立.