【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC.

(1)求直線PC與平面ABC所成角的大;
(2)求二面角B﹣AP﹣C的大。

【答案】
(1)解:[解法一]

設(shè)AB中點(diǎn)為D,AD中點(diǎn)為O,連接OC,OP,CD.

因?yàn)锳B=BC=CA,所以CD⊥AB,

因?yàn)椤螦PB=90°,∠PAB=60°,所以△PAD為等邊三角形,所以PO⊥AD,又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AD.

PO⊥平面ABC,∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角

不妨設(shè)PA=2,則OD=1,OP= ,AB=4.

所以CD=2 ,OC= = =

在RT△OCP中,tan∠OCP= = =

故直線PC與平面ABC所成的角的大小為arctan

[解法二]

設(shè)AB中點(diǎn)為D,連接CD.因?yàn)镺在AB上,且O為P在平面ABC內(nèi)的射影,

所以PO⊥平面ABC,所以PO⊥AB,且PO⊥CD.因?yàn)锳B=BC=CA,所以CD⊥AB,設(shè)E為AC中點(diǎn),則EO∥CD,從而OE⊥PO,OE⊥AB.

如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OE,OP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz.不妨設(shè)PA=2,由已知可得,AB=4,OA=OD=1,OP= ,

CD=2 ,所以O(shè)(0,0,0),A(﹣1,0,0),C(1,2 ,0),P(0,0, ),所以 =(﹣1,﹣2 , =(0,0, )為平面ABC的一個(gè)法向量.

設(shè)α為直線PC與平面ABC所成的角,則sinα= = = .故直線PC與平面ABC所成的角大小為arcsin


(2)解:[解法一]

過D作DE⊥AP于E,連接CE.

由已知,可得CD⊥平面PAB.根據(jù)三垂線定理知,CE⊥PA.所以∠CED為二面角

B﹣AP﹣C的平面角.由(1)知,DE= ,在RT△CDE中,tan∠CED= = =2,故二面角B﹣AP﹣C的大小為arctan2.

[解法二]

由(1)知, =(1,0, ), =(2,2 ,0).

設(shè)平面APC的一個(gè)法向量為 =(x,y,z),則由 得出

取x=﹣ ,則y=1,z=1,所以 =(﹣ ,1,1).設(shè)二面角B﹣AP﹣C的平面角為β,易知β為銳角.

而面ABP的一個(gè)法向量為 =(0,1,0),則cosβ= = =

故二面角B﹣AP﹣C的大小為arccos


【解析】解法一(1)設(shè)AB中點(diǎn)為D,AD中點(diǎn)為O,連接OC,OP,CD.可以證出∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角.不妨設(shè)PA=2,則OD=1,OP= ,AB=4.在RT△OCP中求解.(2)以O(shè)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面APC的一個(gè)法向量與面ABP的一個(gè)法向量求解.解法二(1)設(shè)AB中點(diǎn)為D,連接CD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OE,OP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz.利用 與平面ABC的一個(gè)法向量夾角求解.(2)分別求出平面APC,平面ABP的一個(gè)法向量,利用兩法向量夾角求解.

練習(xí)冊系列答案
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(2)若是橢圓上的兩個(gè)點(diǎn),線段的中垂線的斜率為且直線交于點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:三點(diǎn)共線.

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(1)求ω的值及函數(shù)f(x)的值域;
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【題目】某市地產(chǎn)數(shù)據(jù)研究所的數(shù)據(jù)顯示,2016年該市新建住宅銷售均價(jià)走勢如圖所示,3月至7月房價(jià)上漲過快,政府從8月采取宏觀調(diào)控措施,10月份開始房價(jià)得到很好的抑制.

(1)地產(chǎn)數(shù)據(jù)研究所發(fā)現(xiàn),3月至7月的各月均價(jià)(萬元/平方米)與月份之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,試求關(guān)于的回歸直線方程;

(2)若政府不調(diào)控,按照3月份至7月份房價(jià)的變化趨勢預(yù)測12月份該市新建住宅的銷售均價(jià).

參考數(shù)據(jù):,,;

參考公式:,.

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【題目】“微信運(yùn)動(dòng)”是由騰訊開發(fā)的一個(gè)類似計(jì)步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號.用戶可以通過關(guān)注“微信運(yùn)動(dòng)”公眾號查看自己及好友每日行走的步數(shù)、排行榜,也可以與其他用戶進(jìn)行運(yùn)動(dòng)量的或點(diǎn)贊.現(xiàn)從某用戶的“微信運(yùn)動(dòng)”朋友圈中隨機(jī)選取40人,記錄他們某一天的行走步數(shù),并將數(shù)據(jù)整理如下:

步數(shù)/步

0~2000

2001~5000

5001~8000

8001~10000

10000以上

男性人數(shù)/人

1

6

9

5

4

女性人數(shù)/人

0

3

6

4

2

規(guī)定:用戶一天行走的步數(shù)超過8000步時(shí)為“運(yùn)動(dòng)型”,否則為“懈怠型”.

(1)將這40人中“運(yùn)動(dòng)型”用戶的頻率看作隨機(jī)抽取1人為“運(yùn)動(dòng)型”用戶的概率.從該用戶的“微信運(yùn)動(dòng)”朋友圈中隨機(jī)抽取4人,記為“運(yùn)動(dòng)型”用戶的人數(shù),求的數(shù)學(xué)期望;

(2)現(xiàn)從這40人中選定8人(男性5人,女性3人),其中男性中“運(yùn)動(dòng)型”有3人,“懈怠型”有2人,女性中“運(yùn)動(dòng)型”有2人,“懈怠型”有1人.從這8人中任意選取男性3人、女性2人,記選到“運(yùn)動(dòng)型”的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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每周移動(dòng)支付次數(shù)

1次

2次

3次

4次

5次

6次及以上

10

8

7

3

2

15

5

4

6

4

6

30

合計(jì)

15

12

13

7

8

45

(Ⅰ)把每周使用移動(dòng)支付超過3次的用戶稱為“移動(dòng)支付活躍用戶”,由以上數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下,認(rèn)為“移動(dòng)支付活躍用戶”與性別有關(guān)?

移動(dòng)支付活躍用戶

非移動(dòng)支付活躍用戶

總計(jì)

總計(jì)

100

(Ⅱ)把每周使用移動(dòng)支付6次及6次以上的用戶稱為移動(dòng)支付達(dá)人”.為了做好調(diào)查工作,決定用分層抽樣的方法從“移動(dòng)支付達(dá)人”中抽取6人進(jìn)行問卷調(diào)查,再從這6人中選派2人參加活動(dòng)求參加活動(dòng)的2人性別相同的概率?

附公式及表如下:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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