Question

（2013•中山一模）已知函數(shù)f(x)=

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3

x3-ax+b，其中實(shí)數(shù)a，b是常數(shù)．
（Ⅰ）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f（1）≥0”發(fā)生的概率；
（Ⅱ）若f（x）是R上的奇函數(shù)，g（a）是f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值，求當(dāng)|a|≥1時(shí)g（a）的解析式；
（Ⅲ）記y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），則當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]使得f（x₁）=f′（x₂），求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知可得基本事件的總數(shù)為9個(gè)；再分類討論得出事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出．
（II）利用奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0即可得出b=0；利用導(dǎo)數(shù)即可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，從而得出其最小值g（a）．
（III）利用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)f（x）及f^′（x）在給出的區(qū)間上的值域，而對(duì)任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]使得f（x₁）=f'（x₂）?f（x）的值域⊆f^′（x）的值域，解出即可．

解答：解：（Ⅰ）由已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，可知：共有3×3=9個(gè)函數(shù)，即基本事件的總數(shù)為9個(gè)．
若f（1）≥0，得到

1

3

-a+b≥0，即a≤b+

1

3

：①當(dāng)a=0時(shí)，b=0，1，2都滿足；②當(dāng)a=1時(shí)，b=1，2滿足；③當(dāng)a=2時(shí)，b=2滿足．
故滿足：“f（1）≥0”的事件A包括6個(gè)基本事件，故P（A）=

6

9

=

2

3

．
（II）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0=b，
∴f(x)=

1

3

x3-ax，f^′（x）=x²-a．
①當(dāng)a≤-1時(shí)，f^′（x）≥0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞增，∴g（a）=f（-1）=-

1

3

+a；
②當(dāng)a≥1時(shí)，∵x∈[-1，1]，∴f^′（x）=x²-a≤0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，∴g（a）=f（1）=

1

3

-a．
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=

1

3

x3-x+b，∴f^′（x）=x²-1，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f^′（x）＜0；當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f^′（x）＞0．
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；在（1，2）上單調(diào)遞增，即f(x)min=f(1)=-

2

3

+b．
又∵f（0）=b，f(2)=

2

3

+b＞f(0)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)∈[-

2

3

+b，

2

3

+b]．
而f^′（x）=x²-1在[0，2]上單調(diào)遞增，f'（x）∈[-1，3]，
且 對(duì)任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]使得f（x₁）=f'（x₂），
∴f（x）的值域⊆f^′（x）的值域，即[-

2

3

+b，

2

3

+b]⊆[-1，3]．
∴-

2

3

+b≥-1且

2

3

+b≤3，解得-

1

3

≤b≤

7

3

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)，古典概型的概率計(jì)算公式，即等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、分類討論方法．