Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2x+2ax+b ， 且f（1）= 、f（2）= ．
（1）求a、b的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）先判斷并證明函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，然后求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得

解得

（2）解：∵f（x）=2x+2﹣x，f（x）的定義域為R，

由f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），

所以f（x）為偶函數(shù)

（3）解：f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)．證明如下：

設(shè)x1＜x2，且x1，x2∈[0，+∞）

= =

因為x1＜x2且x1，x2∈[0，+∞）

所以 ，

所以f（x1）﹣f（x2）＜0

所以f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)．

∴f（x）≥f（0）=2

f（x）的值域為[2，+∞）

【解析】（1）由f（1）= 、f（2）= 列方程組，解這個指數(shù)方程組即可得a、b的值；（2）先求函數(shù)的解析式，在求函數(shù)的定義域，最后利用函數(shù)奇偶性的定義證明函數(shù)的奇偶性；（3）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，通過設(shè)變量，作差比較函數(shù)值的大小證明函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域即可
【考點精析】掌握函數(shù)的值域和函數(shù)單調(diào)性的判斷方法是解答本題的根本，需要知道求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最�。ù螅�數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的；單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大�。虎圩鞑畋容^或作商比較．