Question

（12分）已知橢圓的離心率為，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，
求面積的最大值．

Answer 1

（1）（2）

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓上一點(diǎn)和它的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為，
所以，                                     1分
又橢圓的離心率為，即，所以，        2分
所以，.                                        4分
所以，橢圓的方程為.                      5分
（Ⅱ）不妨設(shè)的方程，則的方程為.
由得，            6分
設(shè)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824001811560932.png" style="vertical-align:middle;" />，所以， 7分
同理可得，                                     8分
所以，，          10分
，                       12分
設(shè)，則，                 13分
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為.
點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線相交，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理是常用的思路