【題目】如圖,在棱長均為的三棱柱中,點在平面內的射影為與的交點,、分別為,的中點.
(1)求證:四邊形為正方形;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)在線段上是否存在一點,使得直線與平面沒有公共點?若存在求出的值.(該問寫出結論即可)
【答案】(1)見證明;(2) (3)
【解析】
(1)先連結,由題意先證明平面,進而證明為菱形,再證明,即可得出結論成立;
(2)根據(jù)題意建立如圖所示坐標系,求出直線的方向向量以及平面的一個法向量,根據(jù)向量夾角的余弦值,即可得出結果;
(3)因為直線與平面沒有公共點,即是,設點坐標為,求出平面的一個法向量,根據(jù)線面平行,得到直線的方向向量與平面法向量數(shù)量積為0,進而可求出,即可得出結果.
解:(1)連結.
因為在平面內的射影為與的交點,所以.
由已知三棱柱各棱長均相等,所以,且為菱形.
由勾股定理得,即,所以四邊形為正方形.
(2)由(1)知平面,.
在正方形中,.
如圖建立空間直角坐標系.由題意得
,
.
所以.
設平面的法向量為,
則,即.
令,則.
于是.
又因為,
設直線與平面所成角為,
則.
所以直線與平面所成角的正弦值為
(3)直線與平面沒有公共點,即.
設點坐標為,與重合時不合題意,所以.
因為.
設為平面的法向量,
則即
令,則.
于是.
若,.
又,
所以解得.
此時,
所以.所以.
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【題目】在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且asinAcosC+csinAcosA=c.
(1)若c=1,sinC=,求ABC的面積S;
(2)若D是AC的中點,且cosB=,BD=,求ABC的三邊長.
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【題目】設橢圓()的左、右焦點為,右頂點為,上頂點為.已知.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設為橢圓上異于其頂點的一點,以線段為直徑的圓經過點,經過原點的直線與該圓相切,求直線的斜率.
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【題目】已知橢圓:的離心率為,橢圓:經過點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設點是橢圓上的任意一點,射線與橢圓交于點,過點的直線與橢圓有且只有一個公共點,直線與橢圓交于,兩個相異點,證明:面積為定值.
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【題目】如圖,等高的正三棱錐P-ABC與圓錐SO的底面都在平面M上,且圓O過點A,又圓O的直徑AD⊥BC,垂足為E,設圓錐SO的底面半徑為1,圓錐體積為。
(1)求圓錐的側面積;
(2)求異面直線AB與SD所成角的大;
(3)若平行于平面M的一個平面N截得三棱錐與圓錐的截面面積之比為,求三棱錐的側棱PA與底面ABC所成角的大小。
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【題目】為了引導居民合理用電,國家決定實行合理的階梯電價,居民用電原則上以住宅為單位(一套住宅為一戶).
階梯級別 | 第一階梯 | 第二階梯 | 第三階梯 |
月用電范圍(度) | (0,210] | (210,400] |
某市隨機抽取10戶同一個月的用電情況,得到統(tǒng)計表如下:
居民用電戶編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
用電量(度) | 53 | 86 | 90 | 124 | 132 | 200 | 215 | 225 | 300 | 410 |
若規(guī)定第一階梯電價每度0.5元,第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元,第三階梯超出第二階梯的部分每度0.8元,試計算A居民用電戶用電410度時應電費多少元?
現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶,求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列與期望;
以表中抽到的10戶作為樣本估計全市的居民用電,現(xiàn)從全市中依次抽取10戶,若抽到戶用電量為第一階梯的可能性最大,求的值.
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【題目】已知圓C過點,且與圓外切于點,過點作圓C的兩條切線PM,PN,切點為M,N.
(1)求圓C的標準方程;
(2)試問直線MN是否恒過定點?若過定點,請求出定點坐標.
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【題目】兩圓(圓心,半徑),與(圓心,半徑)不是同心圓,方程相減(消去二次項)得到的直線叫做圓 與圓的根軸;
(1)求證:當與相交于A,B兩點時,所在直線為根軸;
(2)對根軸上任意點P,求證:;
(3)設根軸與交于點H,,求證:H分的比;
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