【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,①已知點,直線,動點滿足到點的距離與到直線的距離之比為;②已知圓的方程為,直線為圓的切線,記點到直線的距離分別為,動點滿足;③點分別在軸,軸上運動,且,動點滿足

1)在①,②,③這三個條件中任選一個,求動點的軌跡方程;

2)記(1)中的軌跡為,經(jīng)過點的直線,兩點,若線段的垂直平分線與軸相交于點,求點縱坐標(biāo)的取值范圍.

【答案】1)不論選哪種條件,動點的軌跡方程2

【解析】

1)選①,可以用直接法求軌跡方程,選②,可以用待定系數(shù)法求軌跡方程,選③,可以用代入法求軌跡方程;(2)設(shè),當(dāng)斜率不存在時,,當(dāng)斜率不存在時,求出,得到,綜合即得解.

1)若選①,

設(shè),根據(jù)題意,,

整理得

所以所求的軌跡方程為

若選②,

設(shè),直線與圓相切于點,

,

由橢圓定義知,點的軌跡是以為焦點的橢圓,

所以,

,

所以所求的軌跡方程為

若選③,

設(shè),,

,

因為,

所以,

整理得

代入,

所以所求的軌跡方程為

2)設(shè),當(dāng)斜率不存在時,,

當(dāng)斜率存在時,

設(shè)直線的方程為,,,

,消去并整理,

,

恒成立,,

設(shè)線段的中點為,

,

所以線段的垂直平分線方程為:

,

,得,

當(dāng)時,,

當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號,所以;

當(dāng)時,,

當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號,所以;

綜上,點縱坐標(biāo)的取值范圍是

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A.

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