Question

已知

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，M、N是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，P是雙曲線上任意一點，且直線PM，PN的斜率分別為k₁、k₂（k₁k₂≠0），若|k₁|+|k₂|的最小值為1，則雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

分析：先求出K_PM•K_PN =

t-q

s-p

•

t+q

s+ p

=

t2- q2

s2-p2

=

b2

a2

，再由|k₁|+|k₂|≥2

|k1|•|k2|

=2

b

a

=1，即b=

a

2

，
由此求出e=

c

a

的值．

解答：解：設M（p，q），N（-p，-q），P（s，t），則有 

p2

a2

-

q2

b2

= 1，

s2

a2

-

t2

b2

= 1，
∴k₁•k₂=K_PM•K_PN=

t-q

s-p

•

t+q

s+ p

=

t2- q2

s2-p2

=

b2

a2

．
又|k₁|+|k₂|≥2

|k1|•|k2|

=2

b

a

，由題意可得  2•

b

a

=1，∴b=

a

2

，
∴e=

c

a

=

a2+ a2 4

a

=

5

2

，
故答案為

5

2

．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)，基本不等式的應用，得到 K_PM•K_PN=

t-q

s-p

•

t+q

s+ p

=

t2- q2

s2-p2

=

b2

a2

，是解題的關(guān)鍵．