已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準(zhǔn)線方程為x=2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．
（1）由已知得
c
a
=
2
2
a2
c
=2
，
解得a=
2
，c=1
∴b=
a2-c2
=1∴所求橢圓的方程為
x2
2
+y2=1
（ 2）由（1）得F1（-1，0）、F2（1，0）
①若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=-1，
由
x=-1
x2
2
+y2=1
得y=±
2
2

設(shè)M(-1，
2
2
)、N(-1，-
2
2
)，
∴|
F2M
+
F2N
|=|(-2，
2
2
)+(-2，-
2
2
)|=|(-4，0)|=4，這與已知相矛盾．
②若直線l的斜率存在，設(shè)直線直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+1），
設(shè)M（x1，y1）、N（x2，y2），
聯(lián)立
y=k(x+1)
x2
2
+y2=1
，消元得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0
∴x1+x2=
-4k2
1+2k2
，x1x2=
2k2-2
1+2k2
，
∴y1+y2=k(x1+x2+2)=
2k
1+2k2
．
又∵
F2M
=(x1-1，y1)，
F2N
=(x2-1，y2)
∴
F2M
+
F2N
=(x1+x2-2，y1+y2)
∴|
F2M
+
F2N
|=
(x1+x2-2)2+(y1+y2)2
=
(
8k2+2
1+2k2
)2+(
2k
1+2k2
)2
=
2
26
3

化簡得40k4-23k2-17=0
解得k2=1或k2=-
17
40
（舍去）
∴k=±1
∴所求直線l的方程為y=x+1或y=-x-1
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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