Question

在（1-x³）（1+x）¹⁰展開式中，x⁵的系數是

207

．

Answer 1

分析：先將多項式展開，分析可得（1-x³）（1+x）¹⁰展開式中的x⁵的系數是（1+x）¹⁰的展開式中的x⁵的系數減去（1+x）¹⁰的x²的系數，利用二項式定理可得（1+x）¹⁰展開式的含x⁵的系數與含x²的系數，相減可得答案．

解答：解：∵（1-x³）（1+x）¹⁰=（1+x）¹⁰-x³（1+x）¹⁰，
則（1-x³）（1+x）¹⁰展開式中的x⁵的系數是（1+x）¹⁰的展開式中的x⁵的系數減去（1+x）¹⁰的x²的系數，
由二項式定理，（1+x）¹⁰的展開式的通項為T_r+1=C₁₀^rx^r，
令r=5，得（1+x）¹⁰展開式的含x⁵的系數為C₁₀⁵，
令r=2，得其展開式的含x²的系數為C₁₀² ，
則x⁵的系數是C₁₀⁵-C₁₀²=252-45=207，
故答案為 207．

點評：本題考查利用二項展開式定理解決二項展開式的特定項問題，解題的關鍵在于多項式的展開、整理變形，屬于中檔題．